Questão 5) ( 8 pts ) Considere a curva r(t)=\langle\cos t, 2 \operatorname{sen} t, 1\rangle.
r(t) é contínua em t=\pi ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva vetorial
r(t) = \langle \cos t,\,2\operatorname{sen} t,\,1\rangle
é contínua em t=\pi. O conteúdo é continuidade de funções vetoriais, que se baseia na continuidade de cada componente real.

Passo 2

Lembramos que uma função vetorial r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle é contínua em t_0 se, e somente se, cada componente x(t), y(t) e z(t) for contínua em t_0.

Passo 3

Analisamos as componentes de r(t):
x(t)=\cos t,\quad y(t)=2\operatorname{sen} t,\quad z(t)=1.
Sabemos pela teoria de funções elementares que \cos t e \operatorname{sen} t são contínuas para todo t, e a função constante z(t)=1 também é contínua em todo ponto.

Passo 4

Como cada componente é contínua em t=\pi, concluímos que
\lim_{t\to\pi}r(t) =\Bigl\langle\lim_{t\to\pi}\cos t,\,\lim_{t\to\pi}2\operatorname{sen} t,\,\lim_{t\to\pi}1\Bigr\rangle =\langle -1,\,0,\,1\rangle =r(\pi).
Isso confirma a continuidade de r em t=\pi.

Resposta

Sim. r(t) é contínua em t=\pi.

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