2^a Questão (8 pts) O limite
lim x 1 e^2 x-e^2x-1
define a derivada de uma função f(x) no ponto x=a.
(a) Quem são f(x) e a ?
(b) Calcule o limite acima (sugestão: use o item (a)).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos o limite
limxto1e^2x-e^2x-1
e a dica diz que esse limite é justamente a definição de derivada de uma função f(x) no ponto x=a.
Conteúdo de matéria: definição de derivada
O que vamos precisar:
• Reconhecer a forma f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
• Saber derivar exponencial composta (regra da cadeia)

Passo 2

Comparando
limxto1e^2x-e^2x-1 com f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a,
vemos que:
f(x) é o que aparece em vez de “ e^2x” → logo f(x)=e^2x.
f(a) deve ser e^2, então a=1.

Passo 3

Agora que sabemos f(x)=e^2x, vamos achar f'(x) usando regra da cadeia:
  1. Se u(x)=2x, então e^2x=e^u(x).
  2. Derivada de e^u em relação a u é e^u. E derivada de u(x)=2x é u'(x)=2.
  3. Pela cadeia:
f'(x)=ddxe^u(x)=e^u(x)cdot u'(x)=e^2xcdot2=2e^2x
Logo, no ponto x=1:
f'(1)=2e^2cdot1=2e^2

Resposta

(a) f(x)=e^2x e a=1.
(b) O limite vale 2e^2.

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