Resolva os problemas de valor inicial dados.
((4 y+2 t-5) d t+(6 y+4 t-1) d y=0, \quad y(-1)=2)
((4 y+2 t-5) d t+(6 y+4 t-1) d y=0, \quad y(-1)=2)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial exata
com condição inicial
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão, achar a função potencial
tal que
e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Logo
e
Passo 5
A função potencial fica
A solução geral implícita é
ou seja
Passo 6
Aplicando a condição inicial
,
:
Portanto
e a solução implícita fica
Passo 7
Podemos resolver para
explicitamente. Reescrevendo como
e usando a fórmula de Bhaskara, obtemos
Para
e
escolhemos o sinal
, pois
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
ou explicitamente