Resolva os problemas de valor inicial dados.
((4 y+2 t-5) d t+(6 y+4 t-1) d y=0, \quad y(-1)=2)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial exata
(4y+2t-5),dt + (6y+4t-1),dy = 0
com condição inicial y(-1)=2. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão, achar a função potencial F(t,y) tal que
partial Fpartial t=4y+2t-5, partial Fpartial y=6y+4t-1,
e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
partialpartial y(4y+2t-5)=4, partialpartial t(6y+4t-1)=4
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(t,y)=4y+2t-5 em relação a t, tratando y como constante:
integral(4y+2t-5),dt = 4y,t + t^2 -5t + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a N(t,y)=6y+4t-1:
partialpartial yl(4y,t + t^2 -5t + h(y)r) =4t + h'(y) stackrel!=6y+4t-1
Logo h'(y)=6y-1 e
h(y)=3y^2 - y

Passo 5

A função potencial fica
F(t,y)=4y,t + t^2 -5t +3y^2 - y
A solução geral implícita é
F(t,y)=C,
ou seja
4y,t + t^2 -5t +3y^2 - y = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial t=-1, y=2:
4cdot2cdot(-1) + (-1)^2 -5(-1) +3cdot2^2 -2 = -8+1+5+12-2 = 8
Portanto C=8 e a solução implícita fica
4y,t + t^2 -5t +3y^2 - y = 8

Passo 7

Podemos resolver para y explicitamente. Reescrevendo como
3y^2 + (4t-1)y + (t^2 -5t -8)=0
e usando a fórmula de Bhaskara, obtemos
y(t) =1-4t pm raiz(4t-1)^2 -12(t^2-5t-8)6 =1-4t pm raiz4t^2+52t+976
Para t=-1 e y(-1)=2 escolhemos o sinal +, pois
l(1-4(-1)+7r)/6=2.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
4y,t + t^2 -5t +3y^2 - y = 8
ou explicitamente
y(t) =1-4t + raiz4t^2+52t+976

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