Questão 2 (3.0 pts) Seja C a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=16 com o cilindro x^2+y^2=4, que se encontra no primeiro octante. Calcule o momento de inércia de C em relação ao eixo Z, se a densidade em cada ponto (x, y, z) é dada por de<a(x, y, z)=x y.

Passo 1

O enunciado dá a curva C que é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=16 com o cilindro x^2+y^2=4 no primeiro octante, e pede o momento de inércia dessa curva em relação ao eixo Z. O conteúdo aqui envolve integrais de linha com densidade variável e a definição de momento de inércia em torno de um eixo, que é
IZ=integralCd m,(rperp)^2,
onde rperp=raizx^2+y^2 é a distância ao eixo Z e d m=de<a(x,y,z),ds.

Passo 2

Escrevendo a integral de momento de inércia,
IZ =integralC(x^2+y^2),de<a(x,y,z),ds =integralC(x^2+y^2),(x,y),ds =integralCx,y,(x^2+y^2),ds
Aqui usamos de<a(x,y,z)=x,y e rperp^2=x^2+y^2.

Passo 3

Como C está no cilindro x^2+y^2=4, temos x^2+y^2=4 constante sobre C. Logo
IZ =4integralCx,y,ds

Passo 4

Parametrizamos a porção de C no primeiro octante por
x=2cos t, y=2sin t, z=2raiz3, tin[0,tfracpi2]
Como é um círculo de raio 2 paralelo ao plano xy, o elemento de comprimento é ds=2,dt.

Passo 5

Substituindo na integral,
x,y=4sin tcos t, ds=2,dt,
então
integralCx,y,ds =integral0^pi/24sin tcos tcdot2,dt =8integral0^pi/2sin tcos t,dt =8cdot12 =4
Logo
IZ =4cdotgl(integralCx,y,dsgr) =4cdot4 =16

Resposta

IZ=16.

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