Questão 2 (3.0 pts) Seja
a curva interseção da esfera
com o cilindro
, que se encontra no primeiro octante. Calcule o momento de inércia de
em relação ao eixo
, se a densidade em cada ponto
é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é a interseção da esfera
com o cilindro
no primeiro octante, e pede o momento de inércia dessa curva em relação ao eixo
. O conteúdo aqui envolve integrais de linha com densidade variável e a definição de momento de inércia em torno de um eixo, que é
onde
é a distância ao eixo
e
.
Passo 2
Escrevendo a integral de momento de inércia,
Aqui usamos
e
.
Passo 3
Como
está no cilindro
, temos
constante sobre
. Logo
Passo 4
Parametrizamos a porção de
no primeiro octante por
Como é um círculo de raio 2 paralelo ao plano
, o elemento de comprimento é
.
Passo 5
Substituindo na integral,
então
Logo