Sejam
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar a propriedade do máximo divisor comum (mdc) para inteiros. Em particular, mostrar que trocar o sinal de um dos argumentos não altera o valor de
. Vamos usar a definição de mdc como o maior elemento em módulo que divide ambos.
Passo 2
Pelo enunciado da definição, o conjunto de divisores comuns de
e
é
. Note que se
divide
, então também divide
, pois dividibilidade não se altera com sinais. Logo
Passo 3
- todo divisor comum de
e é divisor comum de e ,
Passo 4
- e recíproco: todo divisor comum de
e divide e .
Passo 5
Portanto, os conjuntos de divisores comuns de
e
coincidem. Como o mdc é o maior divisor comum em módulo, segue que
Passo 6
Passo 7
De modo completamente análogo, trocar o sinal de
também não altera a divisibilidade e, assim,
Passo 8
Resposta
As igualdades são verdadeiras:
.