Sejam a, b, c, d in Z. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
m d c(-a, b)=m d c(a,-b)=m d c(a, b).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar a propriedade do máximo divisor comum (mdc) para inteiros. Em particular, mostrar que trocar o sinal de um dos argumentos não altera o valor de gcd(a,b). Vamos usar a definição de mdc como o maior elemento em módulo que divide ambos.

Passo 2

Pelo enunciado da definição, o conjunto de divisores comuns de a e b é D = dinZ : dmid a e dmid b. Note que se d divide a, então também divide -a, pois dividibilidade não se altera com sinais. Logo

Passo 3

  • todo divisor comum de a e b é divisor comum de -a e b,

Passo 4

  • e recíproco: todo divisor comum de -a e b divide a e b.

Passo 5

Portanto, os conjuntos de divisores comuns de (a,b) e (-a,b) coincidem. Como o mdc é o maior divisor comum em módulo, segue que

Passo 6

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

Passo 7

De modo completamente análogo, trocar o sinal de b também não altera a divisibilidade e, assim,

Passo 8

gcd(a,-b)=gcd(a,b)

Resposta

As igualdades são verdadeiras: gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(a,b).

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