Sejam a, b, c, d in Z. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
b mid a se e somente se mdc(a, b)=|b|.

Passo 1

A questão pede para verificar se a afirmação “ bmid a se e somente se gcd(a,b)=|b|” é verdadeira ou falsa. O assunto é divisibilidade e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de divisibilidade ( bmid a significa que existe inteiro k com a=bk) e a propriedade de que gcd(bk,b)=|b|cdotgcd(k,1)=|b|.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que, se bmid a, então gcd(a,b)=|b|. Se bmid a, existe kinZ tal que a=bk. Logo

Passo 3

Passo 4

\gcd(a,b)=\gcd(bk,b)=|b|\cdot\gcd(k,1)=|b|,

Passo 5

]

Passo 6

pois gcd(k,1)=1. Assim, a direção “ bmid a implica gcd(a,b)=|b|” está provada.

Passo 7

Agora provamos o recíproco: se gcd(a,b)=|b|, então bmid a. Por definição de mdc, gcd(a,b) divide a. Logo, como gcd(a,b)=|b|, temos |b|mid a. Mas dizer que |b|mid a é equivalente a dizer que bmid a (basta absorver o sinal em um inteiro), logo bmid a.

Passo 8

Como ambas as implicações são verdadeiras, a equivalência está confirmada.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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