Sejam
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
se e somente se
.
Passo 1
A questão pede para verificar se a afirmação “
se e somente se
” é verdadeira ou falsa. O assunto é divisibilidade e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de divisibilidade (
significa que existe inteiro
com
) e a propriedade de que
.
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que, se
, então
. Se
, existe
tal que
. Logo
Passo 3
Passo 4
\gcd(a,b)=\gcd(bk,b)=|b|\cdot\gcd(k,1)=|b|,
Passo 5
]
Passo 6
pois
. Assim, a direção “
implica
” está provada.
Passo 7
Agora provamos o recíproco: se
, então
. Por definição de mdc,
divide
. Logo, como
, temos
. Mas dizer que
é equivalente a dizer que
(basta absorver o sinal em um inteiro), logo
.
Passo 8
Como ambas as implicações são verdadeiras, a equivalência está confirmada.
Resposta
A afirmação é verdadeira.