Questão 4 (2.5 pts.) Seja W o sólido limitado pelas esferas concêntricas
Sa: x^2+y^2+z^2=a^2 e Sb: x^2+y^2+z^2=b^2 com a<b
e orientação positiva (normal apontando para fora de W ). Calcule o fluxo do campo
F=1x^2+y^2+z^2(x i+y j+z k)
através de S=Sa cup Sb.

Passo 1

O enunciado define o sólido W como a região entre as esferas concêntricas
Sa:;x^2+y^2+z^2=a^2, Sb:;x^2+y^2+z^2=b^2,
com a<b, e pede o fluxo do campo
F=1x^2+y^2+z^2,(x,i+y,j+z,k)
através de S=Sacup Sb, orientado para fora de W.
Para resolver, vamos usar o Teorema da Divergência e coordenadas esféricas.

Passo 2

Calcular a divergência de F. Em coordenadas cartesiano,
F=l(x/r^2,,y/r^2,,z/r^2r), r=raizx^2+y^2+z^2
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nablacdotF =partialpartial x!l(xr^2r) +partialpartial y!l(yr^2r) +partialpartial z!l(zr^2r) =1r^2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaW(nablacdotF),dV =integral triplaW1r^2,dV
Em coordenadas esféricas (r,theta,phi), temos
dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi,
então o integrando fica
1r^2;r^2sintheta =sintheta

Passo 4

Avaliação do integral:
integral triplaW1r^2,dV =integralr=a^b!integraltheta=0^pi!integralphi=0^2pisintheta; dphi,dtheta,dr =l[integrala^bdrr], l[integral0^pisintheta,dthetar], l[integral0^2pidphir]
Calculamos
integrala^bdr=b-a, integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^2pidphi=2pi,
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integral duplaSFcdotn,dS =(b-a)times 2times 2pi =4pi,(b-a)

Resposta

O fluxo de F através de S=Sacup Sb é
4pi,(b - a)

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