^a Questão. (3,0 pts)
Use a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva f(x)=2 x+1x+3 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! A gente precisa usar a definição de derivada para achar a equação da reta tangente à curva f(x) = 2x + 1x + 3 no ponto (2, 1) . Pra isso, vamos precisar entender como calcular a derivada usando o limite e depois aplicar na fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f(x) no ponto x = a é dada por:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Isso basicamente nos diz a inclinação da tangente da curva no ponto a .

Passo 3

Vamos aplicar isso para f(x) = 2x + 1x + 3 no ponto a = 2 . Primeiro, calculamos f(2) :
f(2) = 2(2) + 12 + 3 = 55 = 1
Confirmamos que o ponto é (2, 1) .

Passo 4

Agora, vamos calcular f(2 + h) :
f(2 + h) = 2(2 + h) + 1(2 + h) + 3 = 4 + 2h + 15 + h = 5 + 2h5 + h

Passo 5

Substituímos na definição da derivada:
f'(2) = limh to 0 5 + 2h5 + h - 1h
Vamos simplificar o numerador:
5 + 2h5 + h - 1 = 5 + 2h - (5 + h)5 + h = h5 + h
Então:
f'(2) = limh to 0 h5 + hh = limh to 0 15 + h = 15
Portanto, a derivada no ponto x = 2 é 15 .

Passo 6

Agora que temos a inclinação da tangente, vamos usar a fórmula da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Onde m = 15 e (x0, y0) = (2, 1) .

Passo 7

Substituindo os valores:
y - 1 = 15(x - 2)
Multiplicando tudo por 5 para tirar a fração:
5(y - 1) = x - 2
Simplificando:
5y - 5 = x - 2 implies x - 5y + 3 = 0
Ou, isolando y :
y = 15x + 35

Resposta

A equação da reta tangente é y = 15x + 35 .

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