Questão 1(1,6 pts) - Use a integral dupla para calcular a área da região D limitada pela curvas y=4 x-x^2 e y=1. Resposta : 4

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a área da região D limitada pelas curvas
y = 4x - x^2
e
y = 1
usando integral dupla. O conteúdo que vamos aplicar é como representar a área de D como
integral duplaD dA
e escolher coordenadas (aqui cartesianas) de modo que D fique descrita por “ x entre dois valores” e “ y entre duas curvas”.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção das duas curvas resolvendo
4x - x^2 = 1
que dá
x^2 - 4x + 1 = 0 Longrightarrow x = 2 pm raiz3
Assim, x varia de 2 - raiz3 até 2 + raiz3.

Passo 3

A área de D pode então ser escrita como
A = integral duplaD dA = integralx=2-raiz3^,2+raiz3 l(integraly=1^,4x - x^2 dyr),dx

Passo 4

Dentro dessa fórmula, a integral em y é trivial:
integraly=1^,4x - x^2 dy = l[(y)r]1^,4x - x^2 = l(4x - x^2r) - 1 = 4x - x^2 - 1

Passo 5

Logo
A = integral2-raiz3^,2+raiz3 l(4x - x^2 - 1r),dx
Perceba que
4x - x^2 - 1 = -(x^2 - 4x + 1) = -( (x-2)^2 -3 ) = 3 - (x-2)^2

Passo 6

Para facilitar, faça a substituição t = x-2. Quando x vai de 2-raiz3 a 2+raiz3, t vai de -raiz3 a +raiz3. Assim
A = integral-raiz3^,raiz3 l(3 - t^2r),dt = underbrace3integral-raiz3^raiz3dt=3cdot2raiz3 ;-;underbraceintegral-raiz3^raiz3t^2,dt=2integral0^raiz3t^2dt
Calculando:
3cdot2raiz3 = 6raiz3, 2integral0^raiz3t^2dt = 2l[tfract^33r]0^raiz3 = 2cdot(raiz3)^33 = 2cdot3raiz33 = 2raiz3
Então
A = 6raiz3 - 2raiz3 = 4raiz3

Resposta

4raiz3

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