Resolva as inequações:
log 12(x-1)+log 12(x-2) <= 1

Passo 1

Na questão temos a inequação log12(x-1)+log12(x-2)<=1. O conteúdo que usamos é o de propriedades de logaritmos (soma vira produto) e a monotonicidade do logaritmo na base maior que 1. Além disso, vamos precisar do domínio dos logaritmos para que x-1>0 e x-2>0.

Passo 2

Para definir o domínio, resolvemos
x-1>0, x-2>0
Como x-2>0 já implica x-1>0, concluímos que o domínio é x>2.

Passo 3

Pela propriedade de soma de logaritmos,
log12(x-1)+log12(x-2) =log12l((x-1)(x-2)r)
Então a inequação fica
log12l((x-1)(x-2)r)<=1

Passo 4

Como a função log12 é estritamente crescente (base maior que 1), podemos tirar o log e manter a desigualdade na forma
(x-1)(x-2)<=12^1=12

Passo 5

Expandindo e rearranjando,
(x-1)(x-2)<=12 Longrightarrow x^2-3x+2<=12 Longrightarrow x^2-3x-10<=0
As raízes do polinômio x^2-3x-10 são
x=3pmraiz9+402=3pm72,
ou seja, x=-2 e x=5. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a inequação quadrática x^2-3x-10<=0 se satisfaz em -2<= x<=5.

Passo 6

Agora intersectamos esse intervalo com o domínio x>2. Assim, a solução final da inequação é
xin(2,5]

Resposta

(2,5]

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