Utilize um computador para traçar a curva da equaçĩo vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
r(t)=lang<= t^2, ln t, trang<=

Passo 1

O enunciado pede que tracemos, com auxílio de um computador, a curva em R^3 dada por
r(t)=lang<= t^2,,ln t,,trang<=,
revelando a “natureza” geométrica dessa curva. O conteúdo aqui é curva paramétrica espacial: precisamos escolher um domínio adequado para t (note que ln t exige t>0) e um ponto de vista (ângulos de elevação e azimute) que mostre claramente sua forma.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro para ver relações entre x,y,z. Se definirmos
x = t^2, y = ln t, z = t,
então t = z e
x = z^2, y = ln z
Logo a curva é exatamente a interseção da superfície parabólica x = z^2 com a superfície logarítmica y = ln z.

Passo 3

A partir de x=z^2 e y=ln z vemos que não há relação linear ax + by + cz = d, ou seja, a curva não é plana. Ela “sobe” logaritmicamente em y enquanto em x e z descreve um ramo de parábola (projeção no plano xz).

Passo 4

Escolha prática de domínio e discretização para a plotagem:
t in [0,5] (evitando t muito próximo de zero para não explodir ln t), com, por exemplo, 400 pontos uniformes.

Passo 5

Sugestão de script em Python usando Matplotlib para traçar e ajustar o ponto de vista:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D

# domínio
t \(=\) np.linspace(\(0.1\), \(5\), \(400\))
x \(=\) t**\(2\)
y \(=\) np.log(t)
z \(=\) t

# plot \(3\)D
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color\(=\)'blue')

# rótulos
ax.\(set_xlabel\)('x \(= t^2\)')
ax.\(set_ylabel\)('y \(=\) ln t')
ax.\(set_zlabel\)('z \(=\) t')

# ajustar vista
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim\(=45\))

plt.show()
Com essa vista inclinada ( , ) tornamos evidente que a projeção no plano é uma parábola e que a coordenada cresce como .

Resposta

A curva é a interseção das superfícies
x = z^2
e
y = ln z,
para z>0. Em outras palavras, em projeção no plano xz ela é uma parábola x=z^2, e a altura y varia logaritmicamente segundo y=ln z.

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