Utilize um computador para traçar a curva da equaçĩo vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
Passo 1
O enunciado pede que tracemos, com auxílio de um computador, a curva em
dada por
revelando a “natureza” geométrica dessa curva. O conteúdo aqui é curva paramétrica espacial: precisamos escolher um domínio adequado para
(note que
exige
) e um ponto de vista (ângulos de elevação e azimute) que mostre claramente sua forma.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro para ver relações entre
. Se definirmos
então
e
Logo a curva é exatamente a interseção da superfície parabólica
com a superfície logarítmica
.
Passo 3
A partir de
e
vemos que não há relação linear
, ou seja, a curva não é plana. Ela “sobe” logaritmicamente em
enquanto em
e
descreve um ramo de parábola (projeção no plano
).
Passo 4
Escolha prática de domínio e discretização para a plotagem:
(evitando
muito próximo de zero para não explodir
), com, por exemplo,
pontos uniformes.
Passo 5
Sugestão de script em Python usando Matplotlib para traçar e ajustar o ponto de vista:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D
# domínio
t \(=\) np.linspace(\(0.1\), \(5\), \(400\))
x \(=\) t**\(2\)
y \(=\) np.log(t)
z \(=\) t
# plot \(3\)D
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color\(=\)'blue')
# rótulos
ax.\(set_xlabel\)('x \(= t^2\)')
ax.\(set_ylabel\)('y \(=\) ln t')
ax.\(set_zlabel\)('z \(=\) t')
# ajustar vista
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim\(=45\))
plt.show()
Com essa vista inclinada (
,
) tornamos evidente que a projeção no plano
é uma parábola e que a coordenada
cresce como
.
Resposta
A curva é a interseção das superfícies
e
para
. Em outras palavras, em projeção no plano
ela é uma parábola
, e a altura
varia logaritmicamente segundo
.