Questão 1: (6 pts) Verifique se são espaços vetoriais.
Prove que o conjunto \mathbb{C}={a+b i ; a, b \in \mathbb{R}}, onde i=\sqrt{-1}, é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathbb{C}=\{a+bi \mid a,b\in\mathbb{R}\}, onde i=\sqrt{-1}, é um espaço vetorial.
Informações dadas e o que devemos mostrar:
  • O conjunto é \mathbb{C}=\{a+bi \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • As operações são as usuais de soma de números complexos e multiplicação por escalares reais (não foi dito explicitamente, então adotamos escalares em \mathbb{R}).
  • Precisamos verificar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, fechamento e propriedades da multiplicação por escalar (distributividades, compatibilidade e identidade do escalar).

Passo 2

Definição explícita das operações (esta é a base para todas as verificações). Seja
z_1 = a_1 + b_1 i,\qquad z_2 = a_2 + b_2 i
com a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R}, e seja c,d\in\mathbb{R} ( escalares ). Definimos:
z_1+z_2 := (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i
c\cdot z_1 := (c a_1) + (c b_1)i.
Comentário didático: estamos simplesmente somando e multiplicando as componentes reais e imaginárias separadamente, como se identificássemos \mathbb{C} com \mathbb{R}^2 via a+bi \leftrightarrow (a,b). Isso facilita as contas.

Passo 3

Fechamento da soma: precisamos mostrar que z_1+z_2\in\mathbb{C}. Usando a definição:
z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i.
Como a_1+a_2\in\mathbb{R} e b_1+b_2\in\mathbb{R}, o resultado é um número da forma a+b i com a,b\in\mathbb{R}. Logo a soma fica em \mathbb{C}. Portanto a soma é fechada em \mathbb{C}.

Passo 4

Fechamento da multiplicação por escalar: para c\in\mathbb{R} e z_1=a_1+b_1 i,
c\cdot z_1 = (c a_1) + (c b_1)i.
Como c a_1\in\mathbb{R} e c b_1\in\mathbb{R}, o produto é da forma a+b i com a,b\in\mathbb{R}. Logo c\cdot z_1\in\mathbb{C}. Assim a multiplicação por escalar é fechada.

Passo 5

Comutatividade da soma: queremos z_1+z_2=z_2+z_1. Pelo item 2,
z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i,
z_2+z_1 = (a_2+a_1)+(b_2+b_1)i.
Como a soma em \mathbb{R} é comutativa ( a_1+a_2=a_2+a_1 e b_1+b_2=b_2+b_1), obtemos igualdade. Portanto a soma é comutativa.

Passo 6

Associatividade da soma: para z_1,z_2,z_3 com z_3=a_3+b_3 i,
(z_1+z_2)+z_3 = \big((a_1+a_2)+a_3\big) + \big((b_1+b_2)+b_3\big)i,
z_1+(z_2+z_3) = a_1 + \big((a_2+a_3)\big) + \big(b_1 + (b_2+b_3)\big)i.
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (a_1+a_2)+a_3 = a_1+(a_2+a_3) e idem para as componentes imaginárias, logo as duas expressões coincidem. Portanto a soma é associativa.

Passo 7

Existência do elemento neutro aditivo: o candidato é 0_{\mathbb{C}} = 0+0i. Para qualquer z=a+b i,
z + 0_{\mathbb{C}} = (a+0) + (b+0)i = a + b i = z.
Logo 0+0i é o elemento neutro da adição.

Passo 8

Existência de inverso aditivo: para z=a+b i tome -z := (-a)+(-b)i. Então
z + (-z) = (a+(-a)) + (b+(-b))i = 0 + 0i = 0_{\mathbb{C}}.
Como -a,-b\in\mathbb{R}, -z\in\mathbb{C}. Portanto cada vetor tem inverso aditivo.

Passo 9

Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: queremos c\cdot (z_1+z_2) = c\cdot z_1 + c\cdot z_2. Calculamos:
c\cdot (z_1+z_2) = c\big((a_1+a_2) + (b_1+b_2)i\big) = (c(a_1+a_2)) + (c(b_1+b_2))i.
Pelo distributivo em \mathbb{R},
(c(a_1+a_2)) = ca_1 + ca_2,\qquad (c(b_1+b_2)) = cb_1 + cb_2,
logo
c\cdot (z_1+z_2) = (ca_1+ca_2) + (cb_1+cb_2)i = (ca_1+cb_1 i) + (ca_2+cb_2 i) = c\cdot z_1 + c\cdot z_2.
Assim a propriedade vale.

Passo 10

Distributividade da soma de escalares sobre um vetor: queremos (c+d)\cdot z = c\cdot z + d\cdot z. Para z=a+bi,
(c+d)\cdot z = ((c+d)a) + ((c+d)b)i.
Pelo distributivo em \mathbb{R},
((c+d)a) = ca + da,\qquad ((c+d)b) = cb + db,
então
(c+d)\cdot z = (ca+da) + (cb+db)i = (ca+cb i) + (da+db i) = c\cdot z + d\cdot z.
Portanto esta distributividade também é verdadeira.

Passo 11

Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade dos escalares): queremos (cd)\cdot z = c\cdot (d\cdot z) para c,d\in\mathbb{R}. Para z=a+bi,
(cd)\cdot z = ((cd)a) + ((cd)b)i.
Por associatividade da multiplicação em \mathbb{R},
(cd)a = c(da),\qquad (cd)b = c(db),
portanto
(cd)\cdot z = c\big( (da) + (db)i \big) = c\cdot (d\cdot z).
Logo a compatibilidade é satisfeita.

Passo 12

Identidade do escalar: o escalar 1\in\mathbb{R} deve satisfazer 1\cdot z = z. De fato, para z=a+bi,
1\cdot z = (1\cdot a) + (1\cdot b)i = a + bi = z,
pois 1\cdot a = a em \mathbb{R}. Assim a propriedade de identidade do escalar é válida.

Passo 13

Conclusão: mostramos fechamento e verificamos todas as propriedades exigidas (comutatividade e associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento da multiplicação por escalar e as quatro propriedades que relacionam soma e multiplicação por escalares). Portanto todas as condições para que \mathbb{C} seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitas. (Dica amiga: pensar em \mathbb{C} como \mathbb{R}^2 deixa essas verificações naturais.)

Resposta

Sim. \mathbb{C} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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