Questão 1: (6 pts) Verifique se são espaços vetoriais.
Prove que o conjunto
, onde
, é um espaço vetorial.
Prove que o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, onde
, é um espaço vetorial.
Informações dadas e o que devemos mostrar:
Informações dadas e o que devemos mostrar:
- O conjunto é
. - As operações são as usuais de soma de números complexos e multiplicação por escalares reais (não foi dito explicitamente, então adotamos escalares em
). - Precisamos verificar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre o corpo
: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, fechamento e propriedades da multiplicação por escalar (distributividades, compatibilidade e identidade do escalar).
Passo 2
Definição explícita das operações (esta é a base para todas as verificações). Seja
com
, e seja
( escalares ). Definimos:
Comentário didático: estamos simplesmente somando e multiplicando as componentes reais e imaginárias separadamente, como se identificássemos
com
via
. Isso facilita as contas.
Passo 3
Fechamento da soma: precisamos mostrar que
. Usando a definição:
Como
e
, o resultado é um número da forma
com
. Logo a soma fica em
. Portanto a soma é fechada em
.
Passo 4
Fechamento da multiplicação por escalar: para
e
,
Como
e
, o produto é da forma
com
. Logo
. Assim a multiplicação por escalar é fechada.
Passo 5
Comutatividade da soma: queremos
. Pelo item 2,
Como a soma em
é comutativa (
e
), obtemos igualdade. Portanto a soma é comutativa.
Passo 6
Associatividade da soma: para
com
,
Como a soma em
é associativa,
e idem para as componentes imaginárias, logo as duas expressões coincidem. Portanto a soma é associativa.
Passo 7
Existência do elemento neutro aditivo: o candidato é
. Para qualquer
,
Logo
é o elemento neutro da adição.
Passo 8
Existência de inverso aditivo: para
tome
. Então
Como
,
. Portanto cada vetor tem inverso aditivo.
Passo 9
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: queremos
. Calculamos:
Pelo distributivo em
,
logo
Assim a propriedade vale.
Passo 10
Distributividade da soma de escalares sobre um vetor: queremos
. Para
,
Pelo distributivo em
,
então
Portanto esta distributividade também é verdadeira.
Passo 11
Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade dos escalares): queremos
para
. Para
,
Por associatividade da multiplicação em
,
portanto
Logo a compatibilidade é satisfeita.
Passo 12
Identidade do escalar: o escalar
deve satisfazer
. De fato, para
,
pois
em
. Assim a propriedade de identidade do escalar é válida.
Passo 13
Conclusão: mostramos fechamento e verificamos todas as propriedades exigidas (comutatividade e associatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, fechamento da multiplicação por escalar e as quatro propriedades que relacionam soma e multiplicação por escalares). Portanto todas as condições para que
seja um espaço vetorial sobre
estão satisfeitas. (Dica amiga: pensar em
como
deixa essas verificações naturais.)
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial sobre
.