Questão 3 da Questionário 3 (Primeira Unidade)
Considere uma esfera homogênea de volume V_{\text {esf }}, construida com um material cujo peso especifico é \gamma_{\mathbf{x}^{*}}. Essa esfe imersa em um recipiente com água, com peso especifico \gamma_{\text {agua }} e volume V_{\text {agua }}
Qual deve ser a expressão do peso especifico da esfera para que, quando imersa na água, fique equilibrada de modo o nivel da água passe exatamente pelo seu centro?
(A) \gamma_{x}=\gamma_{\text {agua }}
(B) \gamma_{\mathrm{x}}=\frac{\gamma_{\text {squa }}}{2}
(C) \gamma_{\mathrm{x}}=\frac{\gamma_{\text {agua }} V_{\text {esf }}}{V_{\text {agua }}}
(D) \gamma_{x}=\frac{\gamma_{\text {dgua }} V_{\text {dgua }}}{V_{\text {esf }}}
(E) \gamma_{x}=\frac{\gamma_{\text {agua }} V_{\text {digua }}}{2 V_{\text {esf }}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera homogênea de volume V_{\text{esf}} e peso específico \gamma_{x}, imersa em água de peso específico \gamma_{\text{agua}}. Ele pede o valor de \gamma_{x} para que a esfera flutue com o nível da água passando exatamente pelo seu centro. O conteúdo aqui é o Princípio de Arquimedes, ou seja, equilíbrio entre peso do corpo e empuxo.

Passo 2

O peso da esfera é dado pelo produto do seu peso específico pelo volume total:
W = \gamma_{x}\,V_{\text{esf}}.

Passo 3

O empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado. Como o nível da água fica no centro da esfera, metade do seu volume fica submersa. Logo,
V_{\text{sub}} = \frac{V_{\text{esf}}}{2},
e
E = \gamma_{\text{agua}}\,V_{\text{sub}} = \gamma_{\text{agua}} \,\frac{V_{\text{esf}}}{2}.

Passo 4

No equilíbrio flutuante, peso da esfera = empuxo:
\gamma_{x}\,V_{\text{esf}} = \gamma_{\text{agua}} \,\frac{V_{\text{esf}}}{2}.
Cancelando V_{\text{esf}} de ambos os lados e isolando \gamma_{x}, obtemos
\gamma_{x} = \frac{\gamma_{\text{agua}}}{2}.

Resposta

(B) \gamma_{x} = \dfrac{\gamma_{\text{agua}}}{2}

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