Questão 9 Racionalize o denominador em cada uma das expressões a seguir:
frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}};

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}.
Aqui o conteúdo principal é manipulação de radicais e uso do conjugado para eliminar a raiz do denominador.

Passo 2

Identificamos o conjugado do denominador (2-\sqrt{2}), que é (2+\sqrt{2}). Vamos multiplicar numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\times\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}.

Passo 3

Expandimos o numerador e o denominador separadamente.
Para o numerador:
(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = (2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}.
Para o denominador, usamos diferença de quadrados:
(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2.

Passo 4

Agora temos
\frac{6 + 4\sqrt{2}}{2}.
Dividindo cada termo do numerador por 2:
\frac{6}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}.

Resposta

A forma racionalizada é
3 + 2\sqrt{2}.

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