Questão 9 Racionalize o denominador em cada uma das expressões a seguir:
frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}};

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
\frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}}.
O conteúdo aqui é utilizar o conjugado do denominador para eliminar a raiz do lugar de baixo.

Passo 2

Identificamos o conjugado de 5-\sqrt{3}, que é 5+\sqrt{3}, e multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}} \times \frac{5+\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}.

Passo 3

Calculamos o produto no numerador:
(5+\sqrt{3})^2 = 5^2 + 2\cdot5\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3 = 28 + 10\sqrt{3}.

Passo 4

Calculamos o produto no denominador usando diferença de quadrados:
(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22.

Passo 5

Substituindo esses resultados, obtemos
\frac{28 + 10\sqrt{3}}{22}.
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 2:
\frac{28 + 10\sqrt{3}}{22} = \frac{2(14 + 5\sqrt{3})}{2\cdot11} = \frac{14 + 5\sqrt{3}}{11}.

Resposta

\frac{14+5\sqrt{3}}{11}

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