Questao 4. Um recıpıente de paredes adıabátıcas é munido de um pıstao adıabátıco móvel, de massa desprezível e 200 \mathrm{~cm}^{2} de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg . A pressão externa é de 1 atm . O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual C_{V}=3 R / 2, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}.
Faz-se funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente, até 70^{\circ} C.
c) Qual é o trabalho realizado pelo gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (tirei estes números do enunciado).
  • Área do pistão: A=200\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Peso sobre o pistão: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão atmosférica (informada): P_{\text{atm}}=1\\ \text{atm}.
  • Volume inicial do gás: V_{1}=3\\ \mathrm{L}.
  • Calor específico molar a volume constante do hélio: C_{V}= \tfrac{3}{2}R (informação não necessária para o trabalho, mas foi dada).
  • Temperatura inicial: T_{1}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_{2}=70^\circ\mathrm{C}.
  • O aquecedor é interno e o pistão é móvel (processo quasiestático de aquecimento).
    O que se pede: (c) Qual é o trabalho realizado pelo gás durante esse aquecimento?

Passo 2

Qual é a expressão para o trabalho realizado pelo gás?
  • Em geral o trabalho feito pelo gás durante uma expansão é
W=\int P_{\text{ext}}\,dV,
onde P_{\text{ext}} é a pressão efetiva contra a qual o gás trabalha.
  • Se o pistão se move lentamente e o equilíbrio mecânico é mantido, a pressão interna do gás é igual à pressão externa (a pressão aplicada pelo ambiente mais o peso sobre o pistão), e essa pressão é aproximadamente constante durante o processo (peso fixo e pressão atmosférica constantes). Assim o processo é aproximadamente isobárico e a integral simplifica para
W = P_{\text{ext}}\,\Delta V,
com \Delta V=V_{2}-V_{1}.
Aqui W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás se expande).

Passo 3

Calcular a pressão externa total P_{\text{ext}}.
  • Converter a área para unidades SI:
A=200\\ \mathrm{cm^{2}}=200\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}=0{,}02\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A pressão adicional causada pelo peso é \dfrac{mg}{A}, onde g é a aceleração da gravidade. Usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\frac{mg}{A}=\frac{10\cdot 9{,}81}{0{,}02}\\ \mathrm{Pa} = \frac{98{,}1}{0{,}02}\\ \mathrm{Pa}=4905\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter a pressão atmosférica para SI: usarei 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Portanto a pressão externa total é
P_{\text{ext}}=P_{\text{atm}}+\frac{mg}{A}=1{,}013\times10^{5} + 4{,}905\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=1{,}06205\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a variação de volume \Delta V usando a lei dos gases ideais para processo isobárico.
  • Primeiro transformar temperaturas para Kelvin:
T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{2}=70^\circ\mathrm{C}=343{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Em pressão constante vale \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{T_{2}}{T_{1}}. Assim
V_{2}=V_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.
  • Converter V_{1} para m^{3}:
V_{1}=3\\ \mathrm{L}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular V_{2} e \Delta V:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{343{,}15}{293{,}15}\approx 1{,}17063,
V_{2}=3{,}0\times10^{-3}\times 1{,}17063 \approx 3{,}5119\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
\Delta V=V_{2}-V_{1}\approx 3{,}5119\times10^{-3}-3{,}0\times10^{-3}=5{,}1189\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular o trabalho W=P_{\text{ext}}\,\Delta V e comentar o sinal.
  • Substituindo os valores:
W = (1{,}06205\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(5{,}1189\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}).
  • Fazendo a multiplicação:
W \approx 54{,}35\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação do sinal: W>0 significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão), o que faz sentido porque a temperatura aumentou e o gás empurrou o pistão para cima.

Passo 6

Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
  • Quando o pistão tem peso fixo e o aquecimento é lento, o processo é aproximadamente isobárico e o trabalho é W=P\,\Delta V.
  • Para achar \Delta V sem conhecer n, use \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{T_{2}}{T_{1}} (lei dos gases ideais a P constante).
  • Lembre de converter unidades: \mathrm{cm^{2}}\to\mathrm{m^{2}}, \mathrm{L}\to\mathrm{m^{3}}, e temperaturas para Kelvin.

Resposta

W \approx 54{,}3\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados