Questão 1 . Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e a nulidade de cada matriz.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 3 & 3 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 3 & 3 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
e pede que a reduzamos à forma escada reduzida por linhas (RREF). Isto envolve usar o método de Gauss–Jordan para obter pivôs iguais a 1 e zeros nas colunas de pivô. Depois, determinamos o posto (número de pivôs) e a nulidade (número de variáveis livres, ou seja, colunas sem pivô).

Passo 2

Primeiro, usamos o pivô a_{11}=1 na linha 1 para zerar as entradas abaixo dele na coluna 1:
R₂ ← R₂ – 2 R₁
R₃ ← R₃ – 4 R₁
R₄ ← R₄ – 3 R₁
Após isso, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & -5 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & -5 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 3

Agora escolhemos o pivô -5 em posição (2,2). Dividimos a linha 2 por -5 para obter pivô 1:
R₂ ← (–1/5) R₂
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 1/5 & 0 \\[3pt] 0 & -5 & -1 & 0 \\[3pt] 0 & -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}
Em seguida, zeramos as outras entradas na coluna 2 usando R₂:
R₁ ← R₁ – 2 R₂
R₃ ← R₃ + 5 R₂
R₄ ← R₄ + 5 R₂
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3/5 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 1/5 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 4

A matriz acima já está na forma escada reduzida por linhas (RREF): pivôs em colunas 1 e 2, e zeros acima e abaixo deles. As colunas 3 e 4 não têm pivô, são variáveis livres.
Logo, o posto é o número de pivôs, isto é,
\mathrm{rank}(A) = 2,
e a nulidade é o número de colunas livres = 4 - 2 = 2.

Resposta

A forma escada reduzida por linhas de A é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & 1 \\[3pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{5} & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\mathrm{rank}(A) = 2
\mathrm{nulidade}(A) = 2]

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