Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{l}3 x-5 y+z=1 \\\\ 2 x+z=3 \\\\ 5 x-y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas
\begin{cases} 3x-5y+z=1,\\\\ 2x+z=3,\\\\ 5x-y-z=0, \end{cases}
e pede que usemos eliminação de Gauss para levar a matriz ampliada à forma escada, depois indiquemos o posto da matriz de coeficientes e o posto da ampliada e, por fim, se houver solução, o grau de liberdade ( \# de incógnitas menos o posto).

Passo 2

Montamos a matriz ampliada inicial
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -5 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss:
  1. Intercambiamos \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2 para ter pivô maior em \text{R}_1, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 3 & -5 & 1 & 1\\\\ 5 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminamos abaixo do pivô em coluna 1:
    \text{R}_2\!\leftarrow\!\text{R}_2-\tfrac32\,\text{R}_1,
    \text{R}_3\!\leftarrow\!\text{R}_3-\tfrac52\,\text{R}_1,
    chegando a
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & -5 & -\tfrac12 & -\tfrac{7}{2}\\\\ 0 & -1 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{15}{2} \end{array}\right].
  1. Eliminamos abaixo do pivô em coluna 2:
    \text{R}_3\!\leftarrow\!\text{R}_3-\tfrac15\,\text{R}_2,
    obtendo a forma escada
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & -5 & -\tfrac12 & -\tfrac{7}{2}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{17}{5} & -\tfrac{34}{5} \end{array}\right].

Passo 4

Na forma escada acima aparecem três pivôs não nulos, um em cada linha.
Logo
\rank(A)=3 e \rank(A|b)=3.

Passo 5

Como há solução (os postos coincidem) e o número de incógnitas é 3, o grau de liberdade é
3 - \rank(A) \;=\; 3 - 3 \;=\; 0.

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & -5 & -\tfrac12 & -\tfrac{7}{2}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{17}{5} & -\tfrac{34}{5} \end{array}\right]
\rank(A)=3, \rank(A|b)=3, grau de liberdade =0 (sistema compatível determinado).

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