Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{c}x-y+2 z=1 \\\\ 2 x+2 z=1 \\\ x-3 y+4 z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x - y + 2z = 1,\\\\ 2x + 0y + 2z = 1,\\\ x - 3y + 4z = 2, \end{cases}
e pede para montar a matriz ampliada, reduzi-la à forma escada, calcular o posto da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada [A\mid b] e, se o sistema for compatível, indicar o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [A\mid b] associada ao sistema:
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\\\ 2 & 0 & 2 & 1\\\\ 1 & -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos o pivô 1 da primeira coluna nas linhas 2 e 3:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
L_3 \leftarrow L_3 - L_1
fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & -2 & -1\\\\ 0 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos o pivô 2 da segunda coluna na linha 3:
L_3 \leftarrow L_3 + L_2
obtendo a forma escada
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Na forma escada há duas linhas não nulas, logo
\mathrm{rank}(A)=2 e \mathrm{rank}([A\mid b])=2. Como os postos coincidem, o sistema é compatível. Há 3-2=1 grau de liberdade.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\mathrm{rank}(A)=2, \mathrm{rank}([A\mid b])=2 e grau de liberdade =1.

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