Questão 8: A região entre dois cilindros longos e concêntricos é constituída de uma substância de resistividade
. O cilindro interno de raio
é mantido a um potencial
e outro, de raio
, a um potencial
. Haverá então uma corrente radial. Calcule: (a) o campo elétrico a uma distância
do eixo dos cilindros; e (b) a corrente radial, num segmento do cilindro de comprimento
.
Passo 1
O enunciado descreve dois cilindros longos e concêntricos de raios internos
e externos
imersos em um material de resistividade
. O cilindro interno está a potencial
e o externo a
, gerando uma corrente radial estacionária. Para resolver, vamos usar simetria cilíndrica, a relação entre campo elétrico e potencial e a Lei de Ohm local (
, com
).
Passo 2
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico só depende de
e aponta na direção radial. Escrevemos
e sabemos que
Passo 3
Como não há carga volumétrica na região, a solução geral para o campo em simetria cilíndrica é
onde
é uma constante a determinar. Logo,
Passo 4
Integramos de
a
para relacionar
ao intervalo de potencial:
Portanto
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos o campo elétrico para
:
Passo 6
A densidade de corrente radial é dada por
Passo 7
A corrente total que atravessa uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento
é
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)