Questão 8: A região entre dois cilindros longos e concêntricos é constituída de uma substância de resistividade \rho. O cilindro interno de raio a é mantido a um potencial V_{a} e outro, de raio b, a um potencial V_{b}. Haverá então uma corrente radial. Calcule: (a) o campo elétrico a uma distância r(a<r<b) do eixo dos cilindros; e (b) a corrente radial, num segmento do cilindro de comprimento L.

Passo 1

O enunciado descreve dois cilindros longos e concêntricos de raios internos a e externos b imersos em um material de resistividade \rho. O cilindro interno está a potencial V_{a} e o externo a V_{b}, gerando uma corrente radial estacionária. Para resolver, vamos usar simetria cilíndrica, a relação entre campo elétrico e potencial e a Lei de Ohm local ( \mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}, com \sigma = 1/\rho).

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico só depende de r e aponta na direção radial. Escrevemos
\mathbf{E}(r) = E(r)\,\hat{r},
e sabemos que
E(r) = -\frac{dV}{dr}.

Passo 3

Como não há carga volumétrica na região, a solução geral para o campo em simetria cilíndrica é
E(r) = \frac{C}{r},
onde C é uma constante a determinar. Logo,
-\frac{dV}{dr} = \frac{C}{r}.

Passo 4

Integramos de r=a a r=b para relacionar C ao intervalo de potencial:
V(a)-V(b) = \int_{a}^{b} \left(-\frac{dV}{dr}\right)dr = \int_{a}^{b} \frac{C}{r}\,dr = C\ln\!\frac{b}{a}.
Portanto
C = \frac{V_{a}-V_{b}}{\ln(b/a)}.

Passo 5

Substituindo C em E(r)=C/r, obtemos o campo elétrico para a<r<b:
\mathbf{E}(r) = \frac{V_{a}-V_{b}}{r\,\ln(b/a)}\,\hat{r}.

Passo 6

A densidade de corrente radial é dada por
j(r) = \sigma\,E(r) = \frac{1}{\rho}\,\frac{V_{a}-V_{b}}{r\,\ln(b/a)}.

Passo 7

A corrente total que atravessa uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L é
I = j(r)\times\bigl(\text{área}\bigr) = \frac{1}{\rho}\,\frac{V_{a}-V_{b}}{r\,\ln(b/a)}\times(2\pi rL) = \frac{2\pi L}{\rho}\,\frac{V_{a}-V_{b}}{\ln(b/a)}.á

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{V_{a}-V_{b}}{r\,\ln(b/a)}\,\hat{r}.
(b) \displaystyle I=\frac{2\pi L}{\rho}\,\frac{V_{a}-V_{b}}{\ln(b/a)}.

Exercícios relacionados