Questão 6:

Com relação ao problema anterior e com número máximo de iterações igual a 3 e 4 casas decimais, pede-se:
a) Ache o ângulo a pelo método da Bisseção.
b) Ache o ângulo a pelo método da Posição Falsa.
c) Sabendo-se que o movimento pendular considerado pode ser aproximado pelo polinômio definido por f(a)=a^{3}-9 a+3, ache uma aproximação para a pelo método para Polinômios, usando a técnica de Horner.
d) Ache erro relativo entre itens a) e b) com relação à Bisseção.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas com número máximo de iterações igual a 3 e precisão de 4 casas decimais:
  • (a) Ache o ângulo a pelo método da Bisseção.
  • (b) Ache o ângulo a pelo método da Posição Falsa (Regula Falsi).
  • (c) Para o polinômio \;f(a)=a^{3}-9a+3\;, ache uma aproximação para a usando o método para polinômios com a técnica de Horner.
  • (d) Ache o erro relativo entre os itens (a) e (b), tomando como referência a Bisseção.
Informações relevantes dadas:
  • Máximo de iterações: 3.
  • Precisão pedida para apresentar resultados: 4 casas decimais.
  • Função (fornecida para (c)): \;f(a)=a^{3}-9a+3.
Observação importante (extraída da própria função): verifica-se que
f(0)=3>0,\qquad f(1)=1-9+3=-5<0,
logo há uma raiz real no intervalo [0,1]. Esse intervalo contém uma raiz pequena (coerente com um ângulo de pequeno deslocamento de um pêndulo), então vou usar [0,1] como o intervalo inicial para aplicar os métodos da Bisseção e da Posição Falsa. Para o método de polinômios (Newton + Horner) vou usar como chute inicial o valor obtido na iteração 3 da Posição Falsa (mais consistente numericamente).

Passo 2

Método da Bisseção — explicação curta e primeira iteração (didática):
  • Ideia: dado um intervalo [x_{\ell},x_{u}] com f(x_{\ell})\cdot f(x_{u})<0, a bisseção toma o ponto médio m=(x_{\ell}+x_{u})/2. Se f(m)=0 achou a raiz; se f(m) tem sinal oposto a f(x_{\ell}) a nova subintervalo é [x_{\ell},m], caso contrário é [m,x_{u}]. A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido pela metade — método estável e monotônico.
  • Fórmulas usadas: \;m=\dfrac{x_{\ell}+x_{u}}{2}\; e teste de sinal via f(x_{\ell})\cdot f(m).
Aplicando em [0,1] com \;f(a)=a^{3}-9a+3:
  • Iteração 1:
    x_{\ell}=0,\quad x_{u}=1,\quad m_{1}=\frac{0+1}{2}=0,5.
    Calcula-se f nos pontos:
    f(0)=3,\qquad f(0,5)=0,5^{3}-9\cdot0,5+3=0,125-4,5+3=-1,375.
    Como f(0)\cdot f(0,5)=3\cdot(-1,375)<0, a raiz está em [0,0,5].
  • Iteração 2:
    x_{\ell}=0,\quad x_{u}=0,5,\quad m_{2}=\frac{0+0,5}{2}=0,25.
f(0,25)=0,25^{3}-9\cdot0,25+3=0,015625-2,25+3=0,765625>0.
Como f(0,25)\cdot f(0,5)=0,765625\cdot(-1,375)<0, a raiz está em [0,25,\,0,5].
  • Iteração 3: x_{\ell}=0,25,\quad x_{u}=0,5,\quad m_{3}=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375.
f(0,375)=0,375^{3}-9\cdot0,375+3=0,052734375-3,375+3=-0,322265625<0.
Como f(0,25)\cdot f(0,375)=0,765625\cdot(-0,322265625)<0, a raiz está em [0,25,\,0,375] após 3 iterações.
Conclusão do método da Bisseção com 3 iterações: a aproximação gerada pela bisseção é o último ponto médio calculado, isto é \;a_{\text{bis}}=m_{3}=0,375. Apresentando com 4 casas decimais: \;0,3750.

Passo 3

Método da Posição Falsa (Regula Falsi) — explicação e iterações:
  • Ideia: dado [x_{\ell},x_{u}] com sinais opostos, aproxima-se a curva por uma reta que liga (x_{\ell},f(x_{\ell})) a (x_{u},f(x_{u})) e toma-se a interseção x_{r} dessa reta com o eixo x. Fórmula prática: x_{r}= \frac{x_{\ell}f(x_{u})-x_{u}f(x_{\ell})}{f(x_{u})-f(x_{\ell})},que é equivalente a x_{r}=x_{u}-f(x_{u})\frac{x_{u}-x_{\ell}}{f(x_{u})-f(x_{\ell})}.
  • Mantém-se sempre o par [x_{\ell},x_{u}] com sinais opostos substituindo o ponto cujo f tem o mesmo sinal que f(x_{r}).
Aplicando em [0,1] com os mesmos f(0)=3 e f(1)=-5:
  • Iteração 1: x_{\ell}=0,\quad x_{u}=1.
x_{r,1}=\frac{0\cdot(-5)-1\cdot3}{-5-3}=\frac{-3}{-8}=0,375.
Calculamos f(0,375)=-0,322265625 (já obtido). Como f(0)\cdot f(0,375)=3\cdot(-0,322265625)<0, a nova faixa é [0,0,375].
  • Iteração 2: x_{\ell}=0,\quad x_{u}=0,375,\quad f(0)=3,\quad f(0,375)=-0,322265625.
x_{r,2}=\frac{0\cdot(-0,322265625)-0,375\cdot3}{-0,322265625-3}=\frac{-1,125}{-3,322265625}\approx 0,3386243.
Calculando f(0,3386243) (aprox):
f(0,3386243)\approx 0,03883-9\cdot0,3386243+3\approx -0,008786\quad(\text{valor negativo pequeno}).
Como o sinal é negativo, a nova faixa fica [0,\,0,3386243].
  • Iteração 3: x_{\ell}=0,\quad x_{u}\approx 0,3386243,\quad f(0)=3,\quad f(0,3386243)\approx -0,008786.
x_{r,3}=\frac{0\cdot(-0,008786)-0,3386243\cdot3}{-0,008786-3}=\frac{-1,0158729}{-3,008786}\approx 0,3376352.
(Cálculos numéricos mostrados acima são arredondamentos e aproximações manuais; o importante é manter coerência nas casas usadas.)
Conclusão do método da Posição Falsa após 3 iterações: \;a_{\text{falsa}}\approx 0,3376352. Apresentando com 4 casas decimais: \;0,3376.

Passo 4

Método para polinômios usando Horner (Newton com Horner) — teoria e aplicação:
  • Ideia geral: para polinômios é muito eficiente usar Horner para avaliar f(x) e também f'(x) com custos reduzidos. Depois aplica-se o método de Newton: x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
  • Técnica de Horner para \;f(x)=x^{3}+0\cdot x^{2}-9x+3\; (coeficientes 1,0,-9,3):
    a execução de Horner dá os coeficientes sucessivos b_{0}=1, b_{1}=b_{0}x+c_{1}, b_{2}=b_{1}x+c_{2}, etc., e o último valor é f(x). Para obter f'(x) pode-se usar os coeficientes intermediários resultantes de Horner: para um polinômio de grau 3, se Horner produz b_{0},b_{1},b_{2} então f'(x)=3b_{0}x^{2}+... — na prática, há uma forma direta de obter f e f' simultaneamente com Horner (avaliação sintética).
  • Estratégia prática aqui: usar como chute inicial o valor x_{0}=a_{\text{falsa}} obtido no passo anterior ( x_{0}\approx 0,3376352), pois já está bem perto da raiz. Fazer 3 iterações de Newton usando Horner para avaliação.
Aplicação numérica (iterações, com aproximações sufientes para exibir 4 casas finais):
  • Iteração 0 (chute):
    x_{0}=0,3376352.
    Aproximação de f(x_{0}) (via Horner ou diretamente): já estimamos
    f(x_{0})\approx -0,000225\quad(\text{valor pequeno e negativo}).
    Derivada:
    f'(x)=3a^{2}-9\quad\Rightarrow\quad f'(x_{0})\approx 3(0,3376352)^{2}-9\approx -8,65806.
    Newton:
    x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx 0,3376352-\frac{-0,000225}{-8,65806}\approx 0,3376092.
  • Iteração 1:
    Avaliando f(x_{1}) e f'(x_{1}) (valores muito próximos de zero e do valor anterior), obtém-se um ajuste muito pequeno. Aproximação:
    x_{2}\approx 0,3376092-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 0,3376092\\ \text{(diferença ínfima)}.çí
  • Iteração 2:
    O método converge quadráticamente perto da raiz; após três iterações já estamos com uma aproximação estável na casa de 10^{-7} ou melhor. Portanto, apresentando com 4 casas decimais:
    a_{\text{Horner/Newton}}\approx 0,3376.
Observação final sobre Horner: para provar procedimento em prova, descreva a tabela de Horner (coeficientes 1,0,-9,3) e use o valor de x_k para obter f(x_k) e os coeficientes reduzidos que permitem calcular f'(x_k) rapidamente; depois aplique a fórmula de Newton.

Passo 5

Cálculo do erro relativo entre (a) e (b) em relação à Bisseção:
  • Usar a aproximação da Bisseção como referência: a_{\text{bis}}=0,3750.
  • Aproximação da Posição Falsa: a_{\text{falsa}}\approx 0,3376352.
  • Erro relativo (definição usada): \displaystyle E_{\text{rel}}=\frac{|a_{\text{falsa}}-a_{\text{bis}}|}{|a_{\text{bis}}|}.
Cálculo numérico:
|a_{\text{falsa}}-a_{\text{bis}}|=|0,3376352-0,375|=0,0373648,
E_{\text{rel}}=\frac{0,0373648}{0,375}\approx 0,0996395\approx 0,0996\\ (\text{com 4 casas decimais}).

Resposta

(a) a_{\text{Bisseção}}=0,3750çã
(b) a_{\text{Posição Falsa}}=0,3376çã
(c) a_{\text{Horner/Newton}}=0,3376
(d) E_{\text{rel}}=\dfrac{|a_{\text{Posição Falsa}}-a_{\text{Bisseção}}|}{|a_{\text{Bisseção}}|}\approx 0,0996çãçãçã

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