Questão 6:
Com relação ao problema anterior e com número máximo de iterações igual a 3 e 4 casas decimais, pede-se:
a) Ache o ângulo a pelo método da Bisseção.
b) Ache o ângulo a pelo método da Posição Falsa.
c) Sabendo-se que o movimento pendular considerado pode ser aproximado pelo polinômio definido por
, ache uma aproximação para a pelo método para Polinômios, usando a técnica de Horner.
d) Ache erro relativo entre itens a) e b) com relação à Bisseção.
a) Ache o ângulo a pelo método da Bisseção.
b) Ache o ângulo a pelo método da Posição Falsa.
c) Sabendo-se que o movimento pendular considerado pode ser aproximado pelo polinômio definido por
d) Ache erro relativo entre itens a) e b) com relação à Bisseção.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas com número máximo de iterações igual a 3 e precisão de 4 casas decimais:
- (a) Ache o ângulo
pelo método da Bisseção. - (b) Ache o ângulo
pelo método da Posição Falsa (Regula Falsi). - (c) Para o polinômio
, ache uma aproximação para usando o método para polinômios com a técnica de Horner. - (d) Ache o erro relativo entre os itens (a) e (b), tomando como referência a Bisseção.
Informações relevantes dadas:
- Máximo de iterações:
. - Precisão pedida para apresentar resultados:
casas decimais. - Função (fornecida para (c)):
Observação importante (extraída da própria função): verifica-se que
logo há uma raiz real no intervalo
. Esse intervalo contém uma raiz pequena (coerente com um ângulo de pequeno deslocamento de um pêndulo), então vou usar
como o intervalo inicial para aplicar os métodos da Bisseção e da Posição Falsa. Para o método de polinômios (Newton + Horner) vou usar como chute inicial o valor obtido na iteração 3 da Posição Falsa (mais consistente numericamente).
Passo 2
Método da Bisseção — explicação curta e primeira iteração (didática):
- Ideia: dado um intervalo
com , a bisseção toma o ponto médio . Se achou a raiz; se tem sinal oposto a a nova subintervalo é , caso contrário é . A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido pela metade — método estável e monotônico. - Fórmulas usadas:
e teste de sinal via .
Aplicando em
com
:
-
Iteração 1:Calcula-se
nos pontos: Como, a raiz está em . -
Iteração 2:
Como
, a raiz está em
.
- Iteração 3:
Como
, a raiz está em
após 3 iterações.
Conclusão do método da Bisseção com 3 iterações: a aproximação gerada pela bisseção é o último ponto médio calculado, isto é
. Apresentando com 4 casas decimais:
.
Passo 3
Método da Posição Falsa (Regula Falsi) — explicação e iterações:
- Ideia: dado
com sinais opostos, aproxima-se a curva por uma reta que liga a e toma-se a interseção dessa reta com o eixo . Fórmula prática: que é equivalente a - Mantém-se sempre o par
com sinais opostos substituindo o ponto cujo f tem o mesmo sinal que .
Aplicando em
com os mesmos
e
:
- Iteração 1:
Calculamos
(já obtido). Como
, a nova faixa é
.
- Iteração 2:
Calculando
(aprox):
Como o sinal é negativo, a nova faixa fica
.
- Iteração 3:
(Cálculos numéricos mostrados acima são arredondamentos e aproximações manuais; o importante é manter coerência nas casas usadas.)
Conclusão do método da Posição Falsa após 3 iterações:
. Apresentando com 4 casas decimais:
.
Passo 4
Método para polinômios usando Horner (Newton com Horner) — teoria e aplicação:
- Ideia geral: para polinômios é muito eficiente usar Horner para avaliar
e também com custos reduzidos. Depois aplica-se o método de Newton: - Técnica de Horner para
(coeficientes ):
a execução de Horner dá os coeficientes sucessivos, , , etc., e o último valor é . Para obter pode-se usar os coeficientes intermediários resultantes de Horner: para um polinômio de grau 3, se Horner produz então — na prática, há uma forma direta de obter e simultaneamente com Horner (avaliação sintética). - Estratégia prática aqui: usar como chute inicial o valor
obtido no passo anterior ( ), pois já está bem perto da raiz. Fazer 3 iterações de Newton usando Horner para avaliação.
Aplicação numérica (iterações, com aproximações sufientes para exibir 4 casas finais):
-
Iteração 0 (chute):Aproximação de
(via Horner ou diretamente): já estimamos Derivada:Newton: -
Iteração 1:
Avaliandoe (valores muito próximos de zero e do valor anterior), obtém-se um ajuste muito pequeno. Aproximação: -
Iteração 2:
O método converge quadráticamente perto da raiz; após três iterações já estamos com uma aproximação estável na casa deou melhor. Portanto, apresentando com 4 casas decimais:
Observação final sobre Horner: para provar procedimento em prova, descreva a tabela de Horner (coeficientes
) e use o valor de
para obter
e os coeficientes reduzidos que permitem calcular
rapidamente; depois aplique a fórmula de Newton.
Passo 5
Cálculo do erro relativo entre (a) e (b) em relação à Bisseção:
- Usar a aproximação da Bisseção como referência:
. - Aproximação da Posição Falsa:
. - Erro relativo (definição usada):
.
Cálculo numérico:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)