Questão 4:

Seja a equação f(x)=x-x \ln (x)=0 que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se \varepsilon=10^{-5} e 6 casas decimais, pede-se:
a) Ache uma raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x}) através do Método de Newton-Raphson.
b) Ache uma raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x}) através do Método do Ponto-Fixo.
c) Ache o erro absoluto entre as raízes dos itens anteriores a) e b).
d) Ache o erro relativo com relação ao Método do Ponto Fixo.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas usando \varepsilon=10^{-5} e arredondamento a 6 casas decimais:
  • (a) Encontrar uma raiz de f(x)=x-x\ln(x)=0 pelo Método de Newton–Raphson.
  • (b) Encontrar uma raiz de f(x)=x-x\ln(x)=0 pelo Método do Ponto-Fixo.
  • (c) Calcular o erro absoluto entre as duas raízes obtidas nos itens (a) e (b).
  • (d) Calcular o erro relativo em relação ao valor obtido pelo Método do Ponto-Fixo.
Informações dadas importantes:
  • A função é f(x)=x(1-\ln(x)). Para que \ln(x) esteja definido precisamos de x>0.
  • A tolerância de parada é \varepsilon=10^{-5}.
  • Resultado final pedido com 6 casas decimais.

Passo 2

Breve aula e preparação para o Método de Newton–Raphson (NR).
  • Ideia do NR: para encontrar raiz de f(x)=0 usa-se a iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui x_n é a aproximação atual, f(x_n) é o valor da função e f'(x_n) é a derivada. A razão é linearizar f por sua reta tangente e tomar a interseção com o eixo x.
  • No nosso caso f(x)=x-x\ln(x)=x(1-\ln x). Derivando,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x(1-\ln x)\bigr)=1-\ln x -1 = -\ln x.
  • Substituindo em NR:
x_{n+1}=x_n - \frac{x_n(1-\ln x_n)}{-\ln x_n} = x_n + \frac{x_n(1-\ln x_n)}{\ln x_n} = x_n\frac{1}{\ln x_n}.
Portanto, para esta função o passo de Newton–Raphson fica muito simples:
\boxed{\,x_{n+1}=\dfrac{x_n}{\ln(x_n)}\,}
Observações didáticas:
  • Esta forma exige \ln(x_n)\neq0 (ou seja x_n\neq1). Por isso não se pode iniciar em x_0=1.
  • O método costuma convergir rapidamente quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz.
Escolha do chute inicial:
  • Vou escolher x_0=2. É um chute simples, positivo e diferente de 1. (Se preferir outro chute, o procedimento é o mesmo.)

Passo 3

Aplicação do Método de Newton–Raphson (cálculo iterativo) até |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
  • Iteração 0: x_0=2.
  • Iteração 1:
x_1=\frac{x_0}{\ln(x_0)}=\frac{2}{\ln(2)}\approx 2{,}8853900817779268.
  • Iteração 2:
x_2=\frac{x_1}{\ln(x_1)}\approx 2{,}723002.
(Nota didática: aqui foi usada a fórmula \;x_{n+1}=x_n/\ln(x_n)\; e calculadora para obter o valor numérico. O objetivo é mostrar a sequência convergente; a computação manual completa de todas as casas é longa, então a cada passo toma-se nota do valor numérico com precisão suficiente.)
  • Iteração 3:
x_3=\frac{x_2}{\ln(x_2)}\approx 2{,}718282.
  • Verificação da tolerância:
|x_3-x_2|\approx |2{,}718282-2{,}723002|\approx 0{,}004720>10^{-5},
então prossegue.
  • Iteração 4:
x_4=\frac{x_3}{\ln(x_3)}\approx 2{,}718282.
Agora a diferença entre iterações sucessivas já é menor que \varepsilon=10^{-5} (os valores estão estabilizados na 6ª casa decimal). O método NR convergiu rapidamente para o valor
x_{\text{NR}}\approx 2{,}718282\quad(\text{arredondado a 6 casas}).
Didática adicional rápida:
  • Observação importante: nesta função, sabemos analyticamen­te que a equação x(1-\ln x)=0 implica 1-\ln x=0 (pois x=0 não é permitido), ou seja \ln x=1 e portanto a raiz exata é x=e. Assim o NR de fato converge para e\approx2{,}718281828\ldots. O passo numérico confirma isto.

Passo 4

Breve aula e preparação para o Método do Ponto-Fixo (PF).
  • Ideia do PF: transformar f(x)=0 em x=g(x) e iterar
x_{n+1}=g(x_n).
Para convergência local é desejável que |g'(x)|<1 perto da raiz (contracção).
  • Uma boa rearrumação para o nosso problema vem de tratar a equação \ln x=1 (equivalente a f(x)=0) e aplicar o método de Newton a \ln x-1=0. Esse Newton dá a iteração
x_{n+1}=x_n(2-\ln x_n).
Também podemos obter a mesma forma escolhendo g(x)=x+f(x) com passo unidade; de fato g(x)=x+f(x)=2x-x\ln x=x(2-\ln x).
  • Então uma escolha natural e prática para o PF é
\boxed{\,g(x)=x(2-\ln x)\,}
e a iteração
x_{n+1}=x_n(2-\ln x_n).
Explicação das variáveis: x_n é a aproximação atual; \ln x_n é o logaritmo natural; g'(x)=1-\ln x e em x=e temos g'(e)=0, o que é excelente (muito contrátil) para convergência.
Escolha do chute inicial:
  • Vou escolher x_0=2 (mesmo chute usado no NR para comparação direta).

Passo 5

Aplicação do Método do Ponto-Fixo (iteração) até |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
  • Iteração 0: x_0=2.
  • Iteração 1:
x_1=g(x_0)=2(2-\ln 2)=2(2-0{,}6931471805599453)\approx 2{,}6137056388801094.
  • Iteração 2:
x_2=g(x_1)=x_1(2-\ln x_1)\approx 2{,}717288.
  • Iteração 3:
x_3=g(x_2)\approx 2{,}718282.
  • Verificação da tolerância:
|x_3-x_2|\approx |2{,}718282-2{,}717288|\approx 0{,}000994>10^{-5},
ainda se continua, mas nas iterações seguintes o valor estabiliza:
  • Iteração 4:
x_4=g(x_3)\approx 2{,}718282.
Após alguns passos (neste caso poucas iterações) a diferença entre iterações cai abaixo de \varepsilon=10^{-5} e a sequência se estabiliza com valor
x_{\text{PF}}\approx 2{,}718282\quad(\text{arredondado a 6 casas}).
Didática adicional:
  • Note que g'(e)=0 dá convergência super-rápida localmente — por isso o PF com esta escolha converge bem aqui.
  • Ambos os métodos convergem para a mesma raiz conhecida analiticamente x=e.

Passo 6

Cálculo do erro absoluto entre as raízes obtidas nos itens (a) e (b).
  • Das iterações acima obtemos, arredondando a 6 casas decimais:
x_{\text{NR}}\approx 2{,}718282,\qquad x_{\text{PF}}\approx 2{,}718282.
  • O erro absoluto é
\text{erro absoluto}=|x_{\text{NR}}-x_{\text{PF}}|\approx 0{,}000000
(ou seja, ambos coincidem até a 6ª casa decimal).

Passo 7

Cálculo do erro relativo com respeito ao Método do Ponto-Fixo.
  • Erro relativo (em valor absoluto, usando como denominador x_{\text{PF}}) é
\text{erro relativo}=\frac{|x_{\text{NR}}-x_{\text{PF}}|}{|x_{\text{PF}}|}\approx\frac{0{,}000000}{2{,}718282}=0{,}000000.
  • Em porcentagem isso também é 0{,}000000\% quando arredondado às 6 casas decimais.

Resposta

(a) x_{\text{NR}}\approx 2{,}718282
(b) x_{\text{PF}}\approx 2{,}718282
(c) \text{erro absoluto}\approx 0{,}000000
(d) \text{erro relativo}\approx 0{,}000000

Exercícios relacionados