Questão 4:
Seja a equação
que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se
e 6 casas decimais, pede-se:
a) Ache uma raiz de
através do Método de Newton-Raphson.
b) Ache uma raiz de
através do Método do Ponto-Fixo.
c) Ache o erro absoluto entre as raízes dos itens anteriores a) e b).
d) Ache o erro relativo com relação ao Método do Ponto Fixo.
a) Ache uma raiz de
b) Ache uma raiz de
c) Ache o erro absoluto entre as raízes dos itens anteriores a) e b).
d) Ache o erro relativo com relação ao Método do Ponto Fixo.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas usando
e arredondamento a 6 casas decimais:
- (a) Encontrar uma raiz de
pelo Método de Newton–Raphson. - (b) Encontrar uma raiz de
pelo Método do Ponto-Fixo. - (c) Calcular o erro absoluto entre as duas raízes obtidas nos itens (a) e (b).
- (d) Calcular o erro relativo em relação ao valor obtido pelo Método do Ponto-Fixo.
Informações dadas importantes:
- A função é
. Para que esteja definido precisamos de . - A tolerância de parada é
. - Resultado final pedido com 6 casas decimais.
Passo 2
Breve aula e preparação para o Método de Newton–Raphson (NR).
- Ideia do NR: para encontrar raiz de
usa-se a iteração
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função e
é a derivada. A razão é linearizar
por sua reta tangente e tomar a interseção com o eixo
.
- No nosso caso
. Derivando,
- Substituindo em NR:
Portanto, para esta função o passo de Newton–Raphson fica muito simples:
Observações didáticas:
- Esta forma exige
(ou seja ). Por isso não se pode iniciar em . - O método costuma convergir rapidamente quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz.
Escolha do chute inicial:
- Vou escolher
. É um chute simples, positivo e diferente de . (Se preferir outro chute, o procedimento é o mesmo.)
Passo 3
Aplicação do Método de Newton–Raphson (cálculo iterativo) até
.
- Iteração 0:
. - Iteração 1:
- Iteração 2:
(Nota didática: aqui foi usada a fórmula
e calculadora para obter o valor numérico. O objetivo é mostrar a sequência convergente; a computação manual completa de todas as casas é longa, então a cada passo toma-se nota do valor numérico com precisão suficiente.)
- Iteração 3:
- Verificação da tolerância:
então prossegue.
- Iteração 4:
Agora a diferença entre iterações sucessivas já é menor que
(os valores estão estabilizados na 6ª casa decimal). O método NR convergiu rapidamente para o valor
Didática adicional rápida:
- Observação importante: nesta função, sabemos analyticamente que a equação
implica (pois não é permitido), ou seja e portanto a raiz exata é . Assim o NR de fato converge para . O passo numérico confirma isto.
Passo 4
Breve aula e preparação para o Método do Ponto-Fixo (PF).
- Ideia do PF: transformar
em e iterar
Para convergência local é desejável que
perto da raiz (contracção).
- Uma boa rearrumação para o nosso problema vem de tratar a equação
(equivalente a ) e aplicar o método de Newton a . Esse Newton dá a iteração
Também podemos obter a mesma forma escolhendo
com passo unidade; de fato
.
- Então uma escolha natural e prática para o PF é
e a iteração
Explicação das variáveis:
é a aproximação atual;
é o logaritmo natural;
e em
temos
, o que é excelente (muito contrátil) para convergência.
Escolha do chute inicial:
- Vou escolher
(mesmo chute usado no NR para comparação direta).
Passo 5
Aplicação do Método do Ponto-Fixo (iteração) até
.
- Iteração 0:
. - Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Verificação da tolerância:
ainda se continua, mas nas iterações seguintes o valor estabiliza:
- Iteração 4:
Após alguns passos (neste caso poucas iterações) a diferença entre iterações cai abaixo de
e a sequência se estabiliza com valor
Didática adicional:
- Note que
dá convergência super-rápida localmente — por isso o PF com esta escolha converge bem aqui. - Ambos os métodos convergem para a mesma raiz conhecida analiticamente
.
Passo 6
Cálculo do erro absoluto entre as raízes obtidas nos itens (a) e (b).
- Das iterações acima obtemos, arredondando a 6 casas decimais:
- O erro absoluto é
(ou seja, ambos coincidem até a 6ª casa decimal).
Passo 7
Cálculo do erro relativo com respeito ao Método do Ponto-Fixo.
- Erro relativo (em valor absoluto, usando como denominador
) é
- Em porcentagem isso também é
quando arredondado às 6 casas decimais.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)