Questão 5:

Em um determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por \mathrm{f}(\mathrm{a})=-\left(\mathrm{e}^{\mathrm{a}} / 2\right)+2 \cos (\mathrm{a}), onde a é um ângulo medido em radianos. Com \varepsilon=10^{-4} e 4 casas decimais, pede-se:
a) Ache um intervalo para uma solução de \mathrm{f}(\mathrm{a})=0 através de um isolamento analítico.
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com a 0 apropriado.
c) Faça o refinamento para achar a pelo método da Secante com \mathrm{a}_{0}=0,5 e \mathrm{a}_{1}=1,0.
d) Calcule o erro absoluto entre os ângulos calculados nos itens anteriores b) e c).
e) Calcule o erro relativo com relação ao método da Secante, calculado no item c).
f) O valor máximo que o pêndulo agüenta sem romper é \Pi / 4. Ele rompe por algum método?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{a}) = -\dfrac{e^{\mathrm{a}}}{2} + 2\cos(\mathrm{a}), onde \mathrm{a} é um ângulo em radianos.
  • A tolerância fornecida é \varepsilon = 10^{-4} e pede-se resultados com 4 casas decimais.
  • As questões pedem, em ordem:
    (a) encontrar analiticamente um intervalo que isole uma solução de \mathrm{f}(\mathrm{a})=0;
    (b) refinar a solução pelo método de Newton-Raphson (com a_0 apropriado);
    (c) refinar a solução pelo método da Secante com a_0=0,5 e a_1=1,0;
    (d) calcular o erro absoluto entre os ângulos obtidos em (b) e (c);
    (e) calcular o erro relativo em relação ao valor do método da Secante;
    (f) verificar se o pêndulo rompe, dado que o máximo permitido é \pi/4.

Passo 2

Isolamento analítico da raiz (item a). Estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário (procura mudança de sinal de \mathrm{f}(\mathrm{a})).
Calculo valores em pontos simples:
  • Para \mathrm{a}=0: \mathrm{f}(0) = -\dfrac{e^{0}}{2} + 2\cos(0) = -\dfrac{1}{2} + 2\cdot1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 > 0.
  • Para \mathrm{a}=1: \mathrm{f}(1) = -\dfrac{e^{1}}{2} + 2\cos(1) \approx -\dfrac{2{,}7182818}{2} + 2\cdot0{,}5403023 \approx -1{,}3591409 + 1{,}0806046 \approx -0{,}2785363 < 0.
Como \mathrm{f}(0)>0 e \mathrm{f}(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1).
Podemos estreitar mais por testes adicionais:
  • \mathrm{a}=0{,}9: \mathrm{f}(0{,}9) = -\dfrac{e^{0{,}9}}{2} + 2\cos(0{,}9) \approx -1{,}2298 + 1{,}2432 \approx 0{,}0134 >0.
  • \mathrm{a}=0{,}95: \mathrm{f}(0{,}95)\approx -1{,}29295 + 1{,}16400 \approx -0{,}12895 <0.
Logo há mudança de sinal entre 0{,}9 e 0{,}95. Conclusão (isolamento analítico):
  • Uma raiz de \mathrm{f}(\mathrm{a})=0 está no intervalo (0{,}9,\,0{,}95).

Passo 3

Método de Newton-Raphson (item b). Vou explicar a ideia e aplicar passo a passo.
Breve aula (intuição e fórmula):
  • O método de Newton-Raphson aproxima a raiz de f(a)=0 por sucessivas retas tangentes. A fórmula iterativa é: a_{n+1} = a_n - \dfrac{f(a_n)}{f'(a_n)}.
  • Aqui f'(a) é a derivada de f com respeito a a. Para a nossa função: f(a) = -\dfrac{e^{a}}{2} + 2\cos(a), \qquad f'(a) = -\dfrac{e^{a}}{2} - 2\sin(a).
  • Critério de parada que usarei: parar quando a diferença entre iterações consecutivas satisfizer |a_{n+1}-a_n| < \varepsilon = 10^{-4},o que garante a precisão desejada nas coordenadas de a.
Escolha de a_0: uso o intervalo isolado (0{,}9,0{,}95); tomo a_0 = 0{,}925 (ponto médio) como chute inicial apropriado.
Agora as iterações (vou mostrar os cálculos numéricos aproximados com precisão suficiente):
Iteração 0 (chute):
  • a_0 = 0{,}925.
  • Calcular f(a_0) e f'(a_0).
    • e^{0{,}925}\approx 2{,}521093, então -\dfrac{e^{a_0}}{2}\approx -1{,}260545.
    • \cos(0{,}925)\approx 0{,}601834, então 2\cos(0{,}925)\approx 1{,}203668.
    • Logo f(a_0)\approx -1{,}260545 + 1{,}203668 = -0{,}056877.
    • \sin(0{,}925)\approx 0{,}798620, então f'(a_0)\approx -1{,}260545 - 2\cdot0{,}798620 = -2{,}857785.
  • Atualização: a_1 = a_0 - \dfrac{f(a_0)}{f'(a_0)} \approx 0{,}925 - \dfrac{-0{,}056877}{-2{,}857785} \approx 0{,}905090.
  • Diferença |a_1-a_0|\approx 0{,}01991 > \varepsilon. Continua.
Iteração 1:
  • a_1 \approx 0{,}905090.
  • Calcular f(a_1), f'(a_1):
    • e^{a_1}\approx 2{,}472148\Rightarrow -\dfrac{e^{a_1}}{2}\approx -1{,}236074.
    • \cos(a_1)\approx 0{,}617615\Rightarrow 2\cos(a_1)\approx 1{,}235229.
    • f(a_1)\approx -1{,}236074 + 1{,}235229 = -0{,}000845.
    • \sin(a_1)\approx 0{,}786482\Rightarrow f'(a_1)\approx -1{,}236074 - 2\cdot0{,}786482 = -2{,}809037.
  • Atualização: a_2 = a_1 - \dfrac{f(a_1)}{f'(a_1)} \approx 0{,}905090 - \dfrac{-0{,}000845}{-2{,}809037} \approx 0{,}9047893.
  • Diferença |a_2-a_1|\approx 0{,}0003007 > \varepsilon. Continua.
Iteração 2:
  • a_2 \approx 0{,}9047893.
  • Calcular f(a_2), f'(a_2):
    • e^{a_2}\approx 2{,}471409\Rightarrow -\dfrac{e^{a_2}}{2}\approx -1{,}2357045.
    • \cos(a_2)\approx 0{,}6178529\Rightarrow 2\cos(a_2)\approx 1{,}2357058.
    • f(a_2)\approx -1{,}2357045 + 1{,}2357058 \approx 1{,}3\times10^{-6}.
    • \sin(a_2)\approx 0{,}7862933\Rightarrow f'(a_2)\approx -1{,}2357045 - 2\cdot0{,}7862933 \approx -2{,}8082911.
  • Atualização: a_3 = a_2 - \dfrac{f(a_2)}{f'(a_2)} \approx 0{,}9047893 - \dfrac{1{,}3\times10^{-6}}{-2{,}8082911} \approx 0{,}90478976.
  • Diferença |a_3-a_2|\approx 4{,}6\times10^{-7} < \varepsilon. Critério de parada satisfeito.
Resultado do Newton:
  • Aproximação final a_{\text{Newton}}\approx 0{,}90478976.
  • Arredondado a 4 casas decimais: a_{\text{Newton}} \approx 0{,}9048.

Passo 4

Método da Secante (item c). Explicação e aplicação passo a passo.
Breve aula (intuição e fórmula):
  • A secante usa duas aproximações e aproxima a função por uma reta que passa pelos pontos (a_{n-1},f(a_{n-1})) e (a_n,f(a_n)). A interseção desta reta com o eixo a é a próxima aproximação: a_{n+1} = a_n - f(a_n)\,\dfrac{a_n-a_{n-1}}{f(a_n)-f(a_{n-1})}.
  • Critério de parada: novamente usarei |a_{n+1}-a_n|<\varepsilon = 10^{-4}.
Dados iniciais pedidos no enunciado: a_0=0{,}5 e a_1=1{,}0.
Calcule f(a_0) e f(a_1):
  • \mathrm{f}(0{,}5)= -\dfrac{e^{0{,}5}}{2} + 2\cos(0{,}5).
    • e^{0{,}5}\approx 1{,}6487213\Rightarrow -\dfrac{e^{0{,}5}}{2}\approx -0{,}8243607.
    • \cos(0{,}5)\approx 0{,}8775826\Rightarrow 2\cos(0{,}5)\approx 1{,}7551651.
    • f(0{,}5)\approx 0{,}9308044.
  • \mathrm{f}(1{,}0)\approx -0{,}2785363 (já calculado no passo 2).
Agora as iterações:
Iteração 1 (computar a_2):
  • Fórmula: a_2 = a_1 - f(a_1)\dfrac{a_1-a_0}{f(a_1)-f(a_0)}.
  • Substituindo: a_2 \approx 1{,}0 - (-0{,}2785363)\cdot\dfrac{1{,}0-0{,}5}{-0{,}2785363-0{,}9308044} \approx 0{,}884806.
  • Calcular f(a_2)\approx 0{,}05562.
Iteração 2 (computar a_3):
  • Usando a_1=1{,}0, a_2\approx0{,}884806: a_3 \approx 0{,}884806 - 0{,}05562\cdot\dfrac{0{,}884806-1{,}0}{0{,}05562-(-0{,}2785363)} \approx 0{,}903976.
  • Calcular f(a_3)\approx 0{,}0022872.
Iteração 3 (computar a_4):
  • Usando a_2 e a_3: a_4 \approx 0{,}903976 - 0{,}0022872\cdot\dfrac{0{,}903976-0{,}884806}{0{,}0022872-0{,}05562} \approx 0{,}9047985.
  • Calcular f(a_4)\approx -0{,}0000348.
Iteração 4 (computar a_5):
  • Usando a_3 e a_4: a_5 \approx 0{,}9047985 - (-0{,}0000348)\cdot\dfrac{0{,}9047985-0{,}903976}{-0{,}0000348-0{,}0022872} \approx 0{,}9047862.
  • Diferença |a_5-a_4|\approx 1{,}232\times10^{-5} < \varepsilon. Critério de parada satisfeito.
Resultado da Secante:
  • Aproximação final a_{\text{Secante}}\approx 0{,}9047862.
  • Arredondado a 4 casas decimais: a_{\text{Secante}} \approx 0{,}9048.

Passo 5

Erro absoluto entre os resultados de Newton e Secante (item d).
  • Usando as aproximações finais mais precisas: a_{\text{Newton}} \approx 0{,}90478976,\qquad a_{\text{Secante}} \approx 0{,}9047862.
  • Erro absoluto: |a_{\text{Newton}} - a_{\text{Secante}}| \approx |0{,}90478976 - 0{,}9047862| \approx 3{,}54\times10^{-6}.

Passo 6

Erro relativo com respeito ao método da Secante (item e).
  • Definição (erro relativo em relação a um valor x): \dfrac{|\,\text{erro absoluto}\,|}{|x|}.
  • Aqui: \text{erro relativo} = \dfrac{3{,}54\times10^{-6}}{0{,}9047862} \approx 3{,}91\times10^{-6}.

Passo 7

Verificação se o pêndulo rompe (item f).
  • Limite máximo permitido: \pi/4 \approx 0{,}785398.
  • As aproximações encontradas para a raiz são a\approx 0{,}90479 (Newton) e a\approx 0{,}90479 (Secante), ambas maiores que \pi/4.
  • Conclusão: o ângulo raiz excede \pi/4, portanto o pêndulo romperia (sim, rompe).

Resposta

(a) A raiz está isolada em (0{,}9,\,0{,}95).
(b) Método de Newton-Raphson: a_{\text{Newton}} \approx 0{,}9048 (valor mais preciso 0{,}90478976).
(c) Método da Secante (com a_0=0{,}5,\;a_1=1{,}0): a_{\text{Secante}} \approx 0{,}9048 (valor mais preciso 0{,}9047862).
(d) Erro absoluto entre b) e c): |a_{\text{Newton}}-a_{\text{Secante}}|\approx 3{,}54\times10^{-6}.
(e) Erro relativo em relação ao método da Secante: \approx 3{,}91\times10^{-6}.
(f) O pêndulo rompe, porque a\approx 0{,}90479 > \pi/4 (logo, sim, rompe).

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