Questão 5:
Em um determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por
, onde a é um ângulo medido em radianos. Com
e 4 casas decimais, pede-se:
a) Ache um intervalo para uma solução de
através de um isolamento analítico.
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com a 0 apropriado.
c) Faça o refinamento para achar a pelo método da Secante com
e
.
d) Calcule o erro absoluto entre os ângulos calculados nos itens anteriores b) e c).
e) Calcule o erro relativo com relação ao método da Secante, calculado no item c).
f) O valor máximo que o pêndulo agüenta sem romper é
. Ele rompe por algum método?
a) Ache um intervalo para uma solução de
b) Faça o refinamento para achar a usando o método de Newton-Raphson com a 0 apropriado.
c) Faça o refinamento para achar a pelo método da Secante com
d) Calcule o erro absoluto entre os ângulos calculados nos itens anteriores b) e c).
e) Calcule o erro relativo com relação ao método da Secante, calculado no item c).
f) O valor máximo que o pêndulo agüenta sem romper é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- A função é
, onde é um ângulo em radianos. - A tolerância fornecida é
e pede-se resultados com 4 casas decimais. - As questões pedem, em ordem:
(a) encontrar analiticamente um intervalo que isole uma solução de;
(b) refinar a solução pelo método de Newton-Raphson (comapropriado);
(c) refinar a solução pelo método da Secante come ;
(d) calcular o erro absoluto entre os ângulos obtidos em (b) e (c);
(e) calcular o erro relativo em relação ao valor do método da Secante;
(f) verificar se o pêndulo rompe, dado que o máximo permitido é.
Passo 2
Isolamento analítico da raiz (item a). Estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário (procura mudança de sinal de
).
Calculo valores em pontos simples:
- Para
: - Para
:
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Podemos estreitar mais por testes adicionais:
-
: -
:
Logo há mudança de sinal entre
e
. Conclusão (isolamento analítico):
- Uma raiz de
está no intervalo .
Passo 3
Método de Newton-Raphson (item b). Vou explicar a ideia e aplicar passo a passo.
Breve aula (intuição e fórmula):
- O método de Newton-Raphson aproxima a raiz de
por sucessivas retas tangentes. A fórmula iterativa é: - Aqui
é a derivada de com respeito a . Para a nossa função: - Critério de parada que usarei: parar quando a diferença entre iterações consecutivas satisfizer
o que garante a precisão desejada nas coordenadas de .
Escolha de
: uso o intervalo isolado
; tomo
(ponto médio) como chute inicial apropriado.
Agora as iterações (vou mostrar os cálculos numéricos aproximados com precisão suficiente):
Iteração 0 (chute):
-
. - Calcular
e . -
, então . -
, então . - Logo
-
, então
-
- Atualização:
- Diferença
. Continua.
Iteração 1:
-
. - Calcular
, : -
- Atualização:
- Diferença
. Continua.
Iteração 2:
-
. - Calcular
, : -
- Atualização:
- Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Resultado do Newton:
- Aproximação final
. - Arredondado a 4 casas decimais:
.
Passo 4
Método da Secante (item c). Explicação e aplicação passo a passo.
Breve aula (intuição e fórmula):
- A secante usa duas aproximações e aproxima a função por uma reta que passa pelos pontos
e . A interseção desta reta com o eixo é a próxima aproximação: - Critério de parada: novamente usarei
.
Dados iniciais pedidos no enunciado:
e
.
Calcule
e
:
-
. -
-
(já calculado no passo 2).
Agora as iterações:
Iteração 1 (computar
):
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calcular
.
Iteração 2 (computar
):
- Usando
: - Calcular
.
Iteração 3 (computar
):
- Usando
e : - Calcular
.
Iteração 4 (computar
):
- Usando
e : - Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Resultado da Secante:
- Aproximação final
- Arredondado a 4 casas decimais:
Passo 5
Erro absoluto entre os resultados de Newton e Secante (item d).
- Usando as aproximações finais mais precisas:
- Erro absoluto:
Passo 6
Erro relativo com respeito ao método da Secante (item e).
- Definição (erro relativo em relação a um valor
): . - Aqui:
Passo 7
Verificação se o pêndulo rompe (item f).
- Limite máximo permitido:
. - As aproximações encontradas para a raiz são
(Newton) e (Secante), ambas maiores que . - Conclusão: o ângulo raiz excede
, portanto o pêndulo romperia (sim, rompe).
Resposta
(a) A raiz está isolada em
.
(b) Método de Newton-Raphson:
(valor mais preciso
).
(c) Método da Secante (com
):
(valor mais preciso
).
(d) Erro absoluto entre b) e c):
.
(e) Erro relativo em relação ao método da Secante:
.
(f) O pêndulo rompe, porque
(logo, sim, rompe).