Questão 3 (2,5). A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa uma amostra de 10 corpos de prova e obtém os seguintes dados, em psi (“pound force per square inch”, ou libra por polegada quadrada, é a unidade de pressão no sistema inglês/americano):
llllllllll 2256 & 2227 & 2332 & 2257 & 2230 & 2243 & 2238 & 2264 & 2199 & 2248
O concreto só poderá ser utilizado se a resistência média da população for superior a 2250 psi. Verifique, através de um teste de hipóteses com nível de significância de 0,01 , se o concreto pode ou não ser liberado para utilização. Mostre como foram obtidas a média e a variância da amostra (expressões matemáticas e substituição nas expressões).

Passo 1

A gente tem uma amostra de tamanho 10 das resistências do concreto e quer testar se a resistência média da população () é maior que 2250 psi, num teste unilateral à direita com nível de significância α=0,01. Como não conhecemos o desvio‐padrão populacional e n é pequeno, vamos usar o teste t de Student.

Passo 2

Para calcular a média amostral, usamos a fórmula
barx=1nsumi=1^n xi
Substituindo os valores (n=10 e sum xi=22494):
$$
\bar{x}=\frac{22494}{10}=2249{,}4$$
Então a média amostral é barx=2249410=2249,4 psi.

Passo 3

Agora a variância amostral vem de
s^2=1n-1sumi=1^n (xi-barx)^2
Já calculando as diferenças ao quadrado temos sum (xi-barx)^2approx10728,4. Logo:
s^2=10728,49approx1192,04
E o desvio‐padrão amostral é s=raiz1192,04approx34,52 psi.

Passo 4

As hipóteses do teste são
H0:mu<=2250vs Ha:mu>2250
O estatístico de teste é
t=barx-2250s/raizn

Passo 5

Substituindo barx=2249,4, s=34,52 e n=10:
t=2249,4-225034,52/raiz10=-0,634,52/3,1623approx-0,055
O valor crítico para um teste t com 9 graus de liberdade e α=0,01 (unilateral à direita) é t0,01;9approx2,821.

Passo 6

Como t=-0,055 fica muito abaixo de 2,821, não rejeitamos H0. Ou seja, não há evidência amostral para afirmar que a resistência média supera 2250 psi.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese de que a resistência média seja até 2250 psi. Assim, não podemos liberar o concreto para utilização.

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