Questão 2 (2,5). Seja
uma variável aleatória com a seguinte distribuição
X
3
6
0,55
a) Determine quantas e quais são todas as possíveis amostras aleatórias de tamanho três
obtidas da população
e as suas respectivas probabilidades.
b) Obtenha as distribuições amostrais da soma (
) e da média
das amostras de tamanho 3.
c) Obtenha o valor esperado e a variância da distribuição de
e
e relacione os resultados com a distribuição de
.
d) O que diz o Teorema Central do Limite a respeito da distribuição da média (
)?
e) Obtenha uma estimativa da média populacional e uma estimativa da variância populacional.
X | 3 | 6 |
|
0,55 |
b) Obtenha as distribuições amostrais da soma (
c) Obtenha o valor esperado e a variância da distribuição de
d) O que diz o Teorema Central do Limite a respeito da distribuição da média (
e) Obtenha uma estimativa da média populacional e uma estimativa da variância populacional.
Passo 1
O problema fala de uma variável aleatória X que assume só dois valores (3 e 6) com probabilidades p(3)=0,55 e p(6)=0,45. Queremos amostras independentes de tamanho n=3, estudar a soma X₊=X₁+X₂+X₃ e a média
, calcular esperanças e variâncias, comentar o TL, e dar estimativas pontuais para média e variância populacionais.
Passo 2
Como X₁, X₂ e X₃ são i.i.d. com P(X=3)=0,55 e P(X=6)=0,45, há 2³=8 amostras possíveis (vetores ordenados). Listamos cada uma e sua probabilidade:
• (3,3,3): P=0,55³. • (3,3,6): P=0,55²·0,45. • (3,6,3): P=0,55²·0,45. • (6,3,3): P=0,55²·0,45.
• (3,6,6): P=0,55·0,45². • (6,3,6): P=0,55·0,45². • (6,6,3): P=0,55·0,45². • (6,6,6): P=0,45³.
• (3,3,3): P=0,55³. • (3,3,6): P=0,55²·0,45. • (3,6,3): P=0,55²·0,45. • (6,3,3): P=0,55²·0,45.
• (3,6,6): P=0,55·0,45². • (6,3,6): P=0,55·0,45². • (6,6,3): P=0,55·0,45². • (6,6,6): P=0,45³.
Passo 3
Para X₊ só podem surgir 4 valores distintos e suas probabilidades agrupando as permutações:
• X₊=9 (3+3+3): P=0,55³.
• X₊=12 (duas 3s e um 6): há 3 arranjos, cada um P=0,55²·0,45 → total 3·0,55²·0,45.
• X₊=15 (uma 3 e duas 6s): 3·0,55·0,45².
• X₊=18 (6+6+6): 0,45³.
• X₊=9 (3+3+3): P=0,55³.
• X₊=12 (duas 3s e um 6): há 3 arranjos, cada um P=0,55²·0,45 → total 3·0,55²·0,45.
• X₊=15 (uma 3 e duas 6s): 3·0,55·0,45².
• X₊=18 (6+6+6): 0,45³.
Passo 4
Como
, ele assume valores 3,4,5 e 6 com as mesmas probabilidades de X₊=9,12,15,18 respectivamente.
Passo 5
Calculemos agora momentos de X:
E(X)=3·0,55+6·0,45=4,35
E(X²)=9·0,55+36·0,45=21,15
Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=21,15−4,35²=2,2275.
E(X)=3·0,55+6·0,45=4,35
E(X²)=9·0,55+36·0,45=21,15
Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=21,15−4,35²=2,2275.
Passo 6
Usando independência:
E(X₊)=3·E(X)=13,05
Var(X₊)=3·Var(X)=6,6825.
E(\bar X)=E(X)=4,35
Var(\bar X)=Var(X)/3=0,7425.
E(X₊)=3·E(X)=13,05
Var(X₊)=3·Var(X)=6,6825.
E(\bar X)=E(X)=4,35
Var(\bar X)=Var(X)/3=0,7425.
Passo 7
O Teorema Central do Limite diz que, para n grande, a distribuição de \bar X fica aproximadamente Normal com média μ=E(X) e variância σ²/n, mesmo que X não seja normal.
Passo 8
Como estimativas pontuais naturais temos:
Resposta
a) São 8 amostras ordenadas: (3,3,3), (3,3,6), (3,6,3), (6,3,3), (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3), (6,6,6), com probabilidades isotermas dadas por p(3)k·p(6){3−k} conforme o número de 3s e 6s em cada vetor.
b) A soma X₊ só pode ser 9,12,15 ou 18 com probabilidades 0,55³; 3·0,55²·0,45; 3·0,55·0,45²; 0,45³. A média \bar X assume 3,4,5,6 com as mesmas probabilidades respectivamente.
c) E(X)=4,35; Var(X)=2,2275 ⇒ E(X₊)=13,05; Var(X₊)=6,6825; E(\bar X)=4,35; Var(\bar X)=0,7425.
d) O Teorema Central do Limite garante que, conforme n aumenta, a distribuição de \bar X se aproxima de uma Normal(μ,σ²/n).
e) Estimativas pontuais preferidas: \hat μ=\bar X e \hat σ²=S²=\frac{1}{n-1}\sum(X_i−\bar X)².
b) A soma X₊ só pode ser 9,12,15 ou 18 com probabilidades 0,55³; 3·0,55²·0,45; 3·0,55·0,45²; 0,45³. A média \bar X assume 3,4,5,6 com as mesmas probabilidades respectivamente.
c) E(X)=4,35; Var(X)=2,2275 ⇒ E(X₊)=13,05; Var(X₊)=6,6825; E(\bar X)=4,35; Var(\bar X)=0,7425.
d) O Teorema Central do Limite garante que, conforme n aumenta, a distribuição de \bar X se aproxima de uma Normal(μ,σ²/n).
e) Estimativas pontuais preferidas: \hat μ=\bar X e \hat σ²=S²=\frac{1}{n-1}\sum(X_i−\bar X)².