Questão 4: Resolva APENAS UM dos itens a seguir
Sendo dada a série alternada
sumn=1^infty (-1)^nn^2
aproxime o valor da soma por sua reduzida de ordem 4 e estime o erro cometido nessa aproximação.

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^nn^2
e pede (a) a reduzida de ordem 4, ou seja a soma parcial até n=4, e (b) a estimativa do erro cometido ao truncar a série nesse ponto. Para resolver usamos a definição de soma parcial e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Calculamos a soma parcial de ordem 4:
S4=sumn=1^4(-1)^nn^2 =-11^2+12^2-13^2+14^2 =-1+14-19+116
Colocando em denominador comum 144:
S4=-144+36-16+9144=-115144approx -0,79861

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, o módulo do resto R4=S-S4 satisfaz
|R4|<= a5,
onde an=1/n^2. Logo
|R4|<= 15^2=125=0,04

Resposta

A reduzida de ordem 4 é
S4=-115144approx -0,79861,
e o erro satisfaz
|S-S4|<= 0,04

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