Resolva: \left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(2xy + y^2\bigr)\,dx + \bigl(x^2 + 2xy\bigr)\,dy = 0.
Essa é uma equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x = M e \phi_y = N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para checar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy + y^2\bigr) = 2x + 2y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 + 2xy\bigr) = 2x + 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \varphi(x,y) tal que
\phi_x(x,y) = M(x,y) = 2xy + y^2.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2xy + y^2)\,dx = x^2y + x y^2 + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos \phi_y = N(x,y). Primeiro calculamos
\phi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y + x y^2 + h(y)\bigr) = x^2 + 2xy + h'(y).
Queremos \phi_y = N = x^2 + 2xy, logo
x^2 + 2xy + h'(y) = x^2 + 2xy \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \text{constante}.

Resposta

A solução implícita é
\varphi(x,y) = x^2y + xy^2 = C,
ou seja
xy(x+y) = C,
onde C é constante de integração.

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