Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t y^2 d yd t=y^3-t^3, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t,y^2,dydt=y^3-t^3,
com condição inicial y(1)=2.
O conteúdo aqui é equação de primeira ordem que é homogênea (os termos têm mesmo grau em t e y), e vamos usar a substituição
v = yt
para torná-la separável.

Passo 2

Primeiro, isolamos dydt. Dividindo ambos os lados por t,y^2, vem
dydt = y^3t,y^2 ;-;t^3t,y^2 = yt ;-;t^2y^2

Passo 3

Fazendo a substituição y = t,v, temos
dydt = v + t,dvdt,
e
yt=v, t^2y^2 = t^2t^2v^2=1v^2
Substituindo na equação,
v + t,dvdt = v - 1v^2 Longrightarrow t,dvdt = -,1v^2

Passo 4

Esta nova EDO é separável. Escrevemos
v^2,dv = -,dtt
Agora integramos ambos os lados:

Passo 5

integral v^2,dv = integral -,dtt Longrightarrow v^33 = -lnlvert trvert + C
Multiplicando por 3 e renomeando a constante,
v^3 = C1 - 3lnlvert trvert

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2. Em t=1, v=y/t=2/1=2, logo
2^3 = 8 = C1 - 3ln1 = C1
Assim C1=8 e
v^3=8 - 3ln t

Passo 7

Voltando a y, temos y = t,v, então
y(t) = tl(8 - 3ln tr)^1/3,
para t>0 (já que usamos ln t).

Resposta

y(t) = tl(8 - 3ln tr)^1/3

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