Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem \r
Esse tipo de equação não é linear em
diretamente, mas percebemos que se fizermos a substituição apropriada
, a equação fica linear em
. Vamos usar isso para resolver.
Passo 2
Definimos \r
Diferenciando em relação a
, temos \r
Passo 3
Queremos reescrever a EDO original em termos de
. Da equação \r
isolamos
via
: \r
Substituindo de volta e multiplicando tudo por
, obtemos \r
e, como
, isso vira \r
Passo 4
Essa é uma EDO linear em
. Colocando na forma padrão \r
o fator integrante é \r
Multiplicando a equação por
, temos \r
Passo 5
Integramos ambos os lados em
: \r
onde
é constante de integração. Logo \r
Passo 6
Voltando à variável
, lembramos que
. Assim \r
Resposta
A solução geral da EDO é \r
com
constante arbitrária.