Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t d yd t+y=1y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem \r
\r
Esse tipo de equação não é linear em diretamente, mas percebemos que se fizermos a substituição apropriada , a equação fica linear em . Vamos usar isso para resolver.

Passo 2

Definimos \r
\r
Diferenciando em relação a , temos \r

Passo 3

Queremos reescrever a EDO original em termos de . Da equação \r
\r
isolamos via : \r
\r
Substituindo de volta e multiplicando tudo por , obtemos \r
\r
e, como , isso vira \r

Passo 4

Essa é uma EDO linear em . Colocando na forma padrão \r
\r
o fator integrante é \r
\r
Multiplicando a equação por , temos \r

Passo 5

Integramos ambos os lados em : \r
\r
onde é constante de integração. Logo \r

Passo 6

Voltando à variável , lembramos que . Assim \r

Resposta

A solução geral da EDO é \r
\r
com constante arbitrária.

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