Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0 \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é o PVI
(x+y)^{2}\,dx + \bigl(2xy + x^{2} - 1\bigr)\,dy = 0, \quad y(1)=1.
Este é um caso típico de equação diferencial exata. Vamos verificar a exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = (x+y)^2, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2xy + x^{2} - 1.

Passo 2

Verificamos as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x+y)^2\bigr] =2(x+y), \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2xy + x^{2}-1\bigr] =2y + 2x =2(x+y).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y)=(x+y)^2 em relação a x:
\Psi(x,y) =\int (x+y)^2\,dx =\frac{(x+y)^3}{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Calculamos \partial\Psi/\partial y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial\Psi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\tfrac{(x+y)^3}{3} + h(y)\Bigr] =(x+y)^2 + h'(y).
Devemos ter
(x+y)^2 + h'(y) =2xy + x^2 - 1.
Mas (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, então
x^2 + 2xy + y^2 + h'(y) = x^2 + 2xy -1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -1 - y^2.
Integramos em y:
h(y) = \int(-1 - y^2)\,dy = -y - \tfrac{y^3}{3} + C_1.
Logo
\Psi(x,y) =\frac{(x+y)^3}{3} - y - \frac{y^3}{3} + C_1.

Passo 5

A solução geral implícita é \Psi(x,y)=C. Podemos juntar C_1 e C num só C, obtendo
\frac{(x+y)^3}{3} - y - \frac{y^3}{3} = C.
Usamos a condição inicial y(1)=1:
\frac{(1+1)^3}{3} - 1 - \frac{1^3}{3} =\frac{8}{3} - 1 - \frac{1}{3} =\frac{8-3-1}{3} =\frac{4}{3} = C.

Passo 6

Substituindo C=\tfrac{4}{3}, a solução implícita final fica
\frac{(x+y)^3}{3} - y - \frac{y^3}{3} =\frac{4}{3}.
Multiplicando por 3 para simplificar:
(x+y)^3 - y^3 - 3y = 4.

Resposta

(x+y)^3 - y^3 - 3y = 4,
com y(1)=1, é a solução implícita do PVI.

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