Questão 2 Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.
\left\{\begin{array}{l}\left(y^{2}+3 x y\right) d x=\left(4 x^{2}+x y\right) d y \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial
\bigl(y^{2}+3xy\bigr)\,dx \;=\;\bigl(4x^{2}+xy\bigr)\,dy
com condição inicial y(1)=1. Isso é uma equação de primeira ordem homogênea (os dois lados são de grau 2 em x,y), e vamos usar a substituição y=v\,x para resolver.

Passo 2

Primeiro isolo \frac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por dx e por (4x^{2}+xy), tenho
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{2}+3xy}{4x^{2}+xy} =\frac{y^{2}+3xy}{x^{2}(4+\tfrac{y}{x})} =\frac{y^{2}+3xy}{x^{2}(4+\tfrac{y}{x})}\,.

Passo 3

Faço a substituição y=v\,x, então
\frac{dy}{dx} =v + x\frac{dv}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{y}{x}=v.
No lado direito fica
\frac{y^{2}+3xy}{4x^{2}+xy} =\frac{x^{2}(v^{2}+3v)}{x^{2}(4+v)} =\frac{v^{2}+3v}{4+v}.
Logo a equação vira
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{v^{2}+3v}{4+v}.

Passo 4

Reorganizo para separar variáveis:
x\frac{dv}{dx} =\frac{v^{2}+3v}{4+v}-v =\frac{-v}{4+v}.
Isso dá
\frac{4+v}{v}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integro ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{4}{v}+1\Bigr)dv = -\int\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; 4\ln|v| + v = -\ln|x| + C.

Passo 5

Aplico a condição y(1)=1. Em x=1 temos v=y/x=1, então
4\ln|1| + 1 = -\ln|1| + C \;\Longrightarrow\; C = 1.

Passo 6

Volto à variável y usando v=y/x. A solução implícita fica
4\ln\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + 1 \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x} + 4\ln\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr| + \ln|x| = 1.

Resposta

\frac{y}{x} + 4\ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \ln(x) = 1, \quad y(1)=1.

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