Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left\{\begin{array}{l}(4 y+2 x-5) d x+(6 y+4 x-1) d y=0 \\\ y(-1)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
(4y+2x-5)\,dx + (6y+4x-1)\,dy = 0
com a condição inicial y(-1)=2. Vamos verificar se ela é exata, ou seja, se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=4y+2x-5, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=6y+4x-1.

Passo 2

Definindo
M(x,y)=4y+2x-5, \quad N(x,y)=6y+4x-1,
calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=4, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=4,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x para obter \Phi:
\Phi(x,y)=\int (2x+4y-5)\,dx =x^2 + 4xy -5x + h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=4x + h'(y)=6y+4x-1 \;\Longrightarrow\; h'(y)=6y-1 \;\Longrightarrow\; h(y)=3y^2 - y.
Logo
\Phi(x,y)=x^2 + 4xy -5x + 3y^2 - y.

Passo 4

A solução implícita é
\Phi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; x^2 + 4xy -5x + 3y^2 - y = C.
Usando x=-1 e y=2:
(-1)^2 + 4(-1)(2) -5(-1) + 3\cdot2^2 -2 =1 -8 +5 +12 -2 =8 \;\Longrightarrow\; C=8.
Portanto
x^2 + 4xy -5x + 3y^2 - y = 8.

Passo 5

Para obter y explicitamente, reorganizamos como quadrática em y:
3y^2 + (4x-1)y + (x^2 -5x -8)=0,
cuja solução é
y = \frac{-\,(4x-1)\pm \sqrt{(4x-1)^2 -12(x^2-5x-8)}}{6} = \frac{-4x+1 \pm \sqrt{4x^2+52x+97}}{6}.
Como em x=-1 temos \sqrt{4-52+97}=7 e queremos y(-1)=2, escolhemos o sinal “ +”. Assim
y(x)=\frac{-4x+1 + \sqrt{4x^2+52x+97}}{6}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=\frac{-4x+1 + \sqrt{4x^2+52x+97}}{6}.

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