Questão 1 (3,0) Resolva a equação diferencial a seguir
através de uma série de poténcias de
em torno do ponto
.
(a) Obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes da série e exiba os seis primeiros termos não-nulos da solução geral.
(b) Determine o termo geral de cada série para compor a solução da equação.
(c) Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 1,
.
(a) Obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes da série e exiba os seis primeiros termos não-nulos da solução geral.
(b) Determine o termo geral de cada série para compor a solução da equação.
(c) Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 1,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências em torno de
. O método consiste em assumir
calcular
, substituir na equação e achar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos
Logo
Reescrevendo o primeiro somatório com
e juntando potências
, obtemos
o que gera a relação de recorrência
Passo 3
Usando
separamos casos par e ímpar:
separamos casos par e ímpar:
-
Para os índices pares
:
,
e daí em diante todospara . -
Para os índices ímpares
:
.
Assim, os seis primeiros termos não nulos da solução geral
são
Passo 4
O termo geral de cada série fica:
-
Série par (
): -
Série ímpar (
): para onde.
Passo 5
Impondo
e
temos
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é