Questão 1 (3,0) Resolva a equação diferencial a seguir
\left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 y=0 .
através de uma série de poténcias de x em torno do ponto x_{0}=0.
(a) Obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes da série e exiba os seis primeiros termos não-nulos da solução geral.
(b) Determine o termo geral de cada série para compor a solução da equação.
(c) Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 1, y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(4 - x^2)\,y'' + 2\,y = 0
por séries de potências em torno de x_0=0. O método consiste em assumir
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n
calcular y'', substituir na equação e achar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n \quad\Longrightarrow\quad y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.
Logo
(4 - x^2)\,y'' + 2y = 4\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n + 2\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0.
Reescrevendo o primeiro somatório com m=n-2 e juntando potências x^n, obtemos
\sum_{n=0}^\infty \Bigl[4(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + \bigl(2 - n(n-1)\bigr)a_n\Bigr]x^n = 0,
o que gera a relação de recorrência
\boxed{ a_{n+2} \;=\;\frac{n(n-1)-2}{4(n+2)(n+1)}\,a_n \;=\;\frac{n-2}{4(n+2)}\,a_n }\,.

Passo 3

Usando
\;a_{n+2}=\tfrac{n-2}{4(n+2)}a_n,
separamos casos par e ímpar:
  • Para os índices pares n=2k:
    a_2 = \frac{0-2}{4\cdot2}\,a_0 = -\tfrac14\,a_0,
    a_4 = \frac{2-2}{4\cdot4}\,a_2=0,
    e daí em diante todos a_{2k}=0 para k\ge2.
  • Para os índices ímpares n=2k+1:
    a_3 = \frac{1-2}{4\cdot3}\,a_1 = -\tfrac1{12}\,a_1,
    a_5 = \frac{3-2}{4\cdot5}\,a_3 = -\tfrac1{240}\,a_1,
    a_7 = -\tfrac1{2240}\,a_1,
    a_9 = -\tfrac1{16128}\,a_1,\dots.
Assim, os seis primeiros termos não nulos da solução geral y = A\,y_1 + B\,y_2 são
y = A\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{4}\Bigr) \;+\;B\Bigl(x - \tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^5}{240} - \tfrac{x^7}{2240} - \tfrac{x^9}{16128}\Bigr) +\cdots.

Passo 4

O termo geral de cada série fica:
  1. Série par ( y_1):
    a_{0}=A,\quad a_{2}=-\tfrac14 A,\quad a_{2k}=0\quad(k\ge2).
  2. Série ímpar ( y_2): para k\ge0
    a_{2k+1} =\biggl[\prod_{m=0}^{k-1}\frac{(2m+1)-2}{4\bigl((2m+1)+2\bigr)}\biggr]\,a_1 =-\frac{B}{4^k\,(2k+1)!!},
    onde (2k+1)!! =1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1).

Passo 5

Impondo y(0)=1 e y'(0)=-1 temos
y(0)=a_0 = A = 1, \qquad y'(0)=a_1 = B = -1.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
\boxed{ y(x) = 1\cdot\Bigl(1 - \tfrac{x^2}{4}\Bigr) \;-\;\Bigl(x - \tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^5}{240} - \tfrac{x^7}{2240} - \tfrac{x^9}{16128} - \cdots\Bigr) }.

Exercícios relacionados