Questão 2 (2,0) Seja f a função dada por:
f(t)=\left\{\begin{aligned} 0, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & 1 \leq t<3 \\\\ 3, & 3 \leq t<5 \\\\ -3, & t \geq 5 \end{aligned}\right\}
(a) Esboce o gráfico de f no intervalo [0, \infty) e expresse f em termos da função degrau unitário.
(b) Calcule a transformada de Laplace de f.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < 1,\\\\ 1, & 1 \le t < 3,\\\\ 3, & 3 \le t < 5,\\\\ -3,& t \ge 5, \end{cases}
e pede (a) o esboço do gráfico em [0,\infty) e a expressão em termos de degrau unitário, e (b) a transformada de Laplace de f.

Passo 2

Para esboçar f basta notar que ela é constante em cada intervalo:
– de 0 até 1 vale 0,
– de 1 até 3 vale 1,
– de 3 até 5 vale 3,
– a partir de 5 vale -3.

Passo 3

Usamos o degrau unitário u(t-a) que “liga” um novo valor em t=a. Assim
f(t) =1\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr) +3\bigl(u(t-3)-u(t-5)\bigr) -3\,u(t-5).

Passo 4

Para a transformada de Laplace basta usar
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}
e linearidade. Assim
F(s) =\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-3s}}{s} +3\Bigl(\frac{e^{-3s}}{s}-\frac{e^{-5s}}{s}\Bigr) -3\frac{e^{-5s}}{s} =\frac{e^{-s}}{s}+\frac{2\,e^{-3s}}{s}-\frac{6\,e^{-5s}}{s}.

Resposta

(a) Gráfico: f(t)=0 para 0\le t<1, f(t)=1 para 1\le t<3, f(t)=3 para 3\le t<5 e f(t)=-3 para t\ge5.
Expressão em degrau unitário:
f(t) =1\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr) +3\bigl(u(t-3)-u(t-5)\bigr) -3\,u(t-5).
(b)
F(s)=\frac{e^{-s}}{s}+\frac{2\,e^{-3s}}{s}-\frac{6\,e^{-5s}}{s}.

Exercícios relacionados