Questão 5. Resolva as equações de EULER.
25 t^2 y^prime prime+25 t y^prime+y=0

Passo 1

Estamos diante da equação de Euler–Cauchy
25,t^2y''+25,t,y'+y=0
para t>0. O método padrão é supor uma solução do tipo y=t^m, obter a equação característica em m e a partir das suas raízes montar a solução geral.

Passo 2

Suponha y=t^m. Então
y'=m,t^m-1, y''=m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
25,t^2l[m(m-1)t^m-2r]+25,tl[m,t^m-1r]+t^m = l(25m(m-1)+25m+1r)t^m=0
Como t^mneq0, a parte entre parênteses é a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
25m(m-1)+25m+1=0 ;Longrightarrow; 25m^2+1=0 ;Longrightarrow; m^2=-tfrac125 ;Longrightarrow; m=pm tfraci5

Passo 4

Para raízes complexas m=alphapm ibeta com alpha=0 e beta=tfrac15, a solução geral da Euler–Cauchy é
y(t)=t^alphal(C1cos(betaln t)+C2sin(betaln t)r) = C1cos!l(tfrac15ln tr)+C2sin!l(tfrac15ln tr)

Resposta

y(t)=C1cos!l(tfrac15ln tr) + C2sin!l(tfrac15ln tr)

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