Questão 5. Resolva as equações de EULER.
4 t^2 y^prime prime+4 t y^prime-y=0

Passo 1

A equação dada é uma equação de Euler–Cauchy
4t^2y''+4t,y'-y=0
Para resolver esse tipo de EDO usamos o ansatz y(t)=t^m, pois em equações de Euler a solução costuma ser combinação de potências de t.

Passo 2

Supondo y=t^m, temos
y'=m,t^m-1, y''=m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
4t^2l[m(m-1)t^m-2r]+4tl[m,t^m-1r]-t^m=0
Longrightarrow 4m(m-1)t^m+4m,t^m-t^m=0

Passo 3

Como t^mneq0, dividimos por t^m e obtemos a equação indicial
4m(m-1)+4m-1=0 Longrightarrow 4m^2-1=0 Longrightarrow m=pmtfrac12

Passo 4

As raízes m1=tfrac12 e m2=-tfrac12 são distintas, portanto a solução geral é
y(t)=C1,t^1/2+C2,t^-1/2

Resposta

y(t)=C1raizt+C21raizt

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