Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+8 t y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y'' + 8,t,y' + 6,y = 0
Esse tipo de equação é conhecida como equação equidimensional ou de Euler-Cauchy. Para resolvê-la, usamos o ansatz
y(t)=t^m

Passo 2

Com y=t^m, temos
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo esses em t^2y'' + 8t,y' + 6y=0

Passo 3

t^2l[m(m-1)t^m-2r] + 8tl[m,t^m-1r] + 6,t^m = 0
Longrightarrow m(m-1)t^m + 8m,t^m + 6,t^m = 0
Longrightarrow l[m(m-1) + 8m + 6r],t^m = 0
Como t^mneq0, a parte entre colchetes é a equação característica:

Passo 4

m(m-1) + 8m + 6 = 0 Longrightarrow m^2 + 7m + 6 = 0
Resolvendo
m = -7 pm raiz49 - 242 = -7 pm 52,
obtêm-se as raízes reais e distintas
m1 = -1, m2 = -6

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^m1 + C2,t^m2 = C1,t^-1 + C2,t^-6,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-1 + C2,t^-6

Exercícios relacionados