Questão 5. Resolva as equações de EULER.
3 t^2 y^prime prime+6 t y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
3,t^2y'' + 6,t,y' + y = 0
Esse tipo de equação é também chamada de equação equidimensional ou de Cauchy–Euler. Para resolvê-la, vamos usar o método de tentativa de solução da forma
y = t^m

Passo 2

Assumindo y = t^m, calculamos as derivadas:
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original:
3,t^2l[m(m-1),t^m-2r] ;+;6,tl[m,t^m-1r];+;t^m=0
Simplificando fatores t^m (com t>0):
3,m(m-1) + 6,m + 1 = 0

Passo 3

A equação característica é
3,m^2 - 3,m + 6,m + 1 = 3,m^2 + 3,m + 1 = 0
Resolvendo para m:
m = -3 pm raiz9 - 126 = -3 pm iraiz36 = -tfrac12 pm i,raiz36

Passo 4

Como as raízes são complexas m = alpha pm ibeta com
alpha = -tfrac12, beta = tfracraiz36,
a solução geral real fica
y(t) = t^alphal(C1cos(betaln t) + C2sin(betaln t)r)
Substituindo alpha e beta:
y(t)=t^-1/2l(C1cosl(tfracraiz36ln tr) + C2sinl(tfracraiz36ln tr)r)

Resposta

boxedy(t)=t^-1/2l(C1cosl(tfracraiz36ln tr) + C2sinl(tfracraiz36ln tr)r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados