Questão 6. Resolva as inequações modulares abaixo:
(i) ;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x+22x-3|<4
O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto de uma função racional. Vamos precisar (1) identificar o domínio onde o denominador não anula, (2) usar a equivalência lvert Arvert<4iff A^2<16, e (3) resolver a inequação polinomial resultante.
Passo 2
Determinamos o domínio da expressão x+22x-3. Como o denominador não pode ser zero, temos
2x-3neq0Longrightarrow xneq32
Passo 3
Usamos a equivalência
|x+22x-3|<4Long<=ftrightarrow(x+22x-3)^2<16
Multiplicando ambos os lados por (2x-3)^2>0, obtemos
(x+2)^2<16,(2x-3)^2
Passo 4
Expandindo e levando tudo para um só membro:
(x+2)^2-16(2x-3)^2<0
Longrightarrow;(x^2+4x+4)-16(4x^2-12x+9)<0
Longrightarrow;-63x^2+196x-140<0
Multiplicando por -1 (inverte o sinal):
63x^2-196x+140>0
Dividindo tudo por 7:
9x^2-28x+20>0
Passo 5
Para resolver 9x^2-28x+20>0, calculamos o discriminante:
De<a = (-28)^2-4cdot9cdot20 =784-720=64
As raízes são
x=28pmraiz642cdot9 =28pm818,
ou seja
x=2 e x=109
Passo 6
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola 9x^2-28x+20 é côncava para cima, logo ela é positiva fora do intervalo fechado entre as raízes. Assim a inequação 9x^2-28x+20>0 vale para
x<109 ou x>2
Juntando com o domínio xneq32 (que não cai em nenhuma dessas regiões), concluímos a solução.