Questão 7.
(a) Suponha que P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 neq 0, a1, a2, ldots, an são números inteiros. Seja alpha um número inteiro. Prove que se alpha for uma raiz de P(x), então alpha será um divisor do termo independente a0

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
P(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
com todos os ak inteiros e a0neq0, e diz que alpha é uma raiz inteira de P. Queremos mostrar que alpha divide o termo independente a0.

Passo 2

Como alpha é raiz, temos
P(alpha)=analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alpha+a0=0

Passo 3

Reescrevendo a igualdade acima, isolamos a0:
analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alpha = -a0
No lado esquerdo todos os termos têm fator comum alpha, então
alphal(analpha^n-1+an-1alpha^n-2+cdots+a1r) = -a0

Passo 4

Como o produto alphacdot(cdots) é igual a -a0, concluímos que alpha divide -a0 e, portanto, também divide a0.

Resposta

alpha é divisor de a0.

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