Questão 4. (3,0) Resolva as inequações:
(x-3)\left(x^{2}-4\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-3)\bigl(x^{2}-4\bigr)\le0.
Este é um problema de inequações polinomiais (grau 3), que vamos resolver por análise de sinais após fatoração.

Passo 2

Fatoramos o polinômio dentro da inequação usando diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
portanto
(x-3)\bigl(x^{2}-4\bigr)=(x-3)(x-2)(x+2).

Passo 3

As raízes da expressão são os zeros de cada fator:
x=-2,\quad x=2,\quad x=3,
que particionam a reta real nos intervalos (-\infty,-2), (-2,2), (2,3) e (3,\infty). Agora, em cada intervalo, determinamos o sinal de cada fator e, assim, o sinal do produto:
No intervalo (-\infty,-2) todos os três fatores (x+2), (x-2) e (x-3) são negativos, logo o produto é negativo.
Em (-2,2), os fatores (x-2) e (x-3) são negativos e (x+2) é positivo, resultando em produto positivo.
Em (2,3), somente (x-3) é negativo e os outros dois são positivos, daí o produto é negativo.
Em (3,\infty), todos os três fatores são positivos, logo o produto é positivo.

Passo 4

A inequação exige que o produto seja menor ou igual a zero, ou seja, ele pode ser negativo ou zero. Assim, satisfaz-se onde o produto é negativo (intervalos com sinal negativo) e nos pontos em que ele se anula (raízes). Combinando, obtemos
(-\infty,-2]\;\cup\;[2,3].

Resposta

(-\infty,-2]\cup[2,3]

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