Resolva as inequaçôes:
x^{2}+9 x+14<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação do segundo grau
x^2 + 9x + 14 < 0.
O conteúdo necessário é o estudo de sinais de uma função quadrática: primeiro encontramos as raízes da função f(x)=x^2+9x+14 e depois determinamos em quais intervalos f(x) é negativa.

Passo 2

Calculemos o discriminante da equação x^2+9x+14=0:
\Delta = b^2 - 4ac = 9^2 - 4\cdot1\cdot14 = 81 - 56 = 25.
Como \Delta>0, há duas raízes reais:
x = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-9 \pm 5}{2}.
Logo,
x_1 = \frac{-9 - 5}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-9 + 5}{2} = -2.

Passo 3

Fatoramos o polinômio usando as raízes encontradas:
x^2 + 9x + 14 = (x - x_1)(x - x_2) = (x + 7)(x + 2).

Passo 4

Para determinar onde (x+7)(x+2)<0, fazemos o teste de sinais:
  • Se x < -7, então x+7<0 e x+2<0, produto positivo.
  • Se -7 < x < -2, então x+7>0 e x+2<0, produto negativo.
  • Se x > -2, então x+7>0 e x+2>0, produto positivo.
Logo, a inequação é satisfeita apenas para
-7 < x < -2.

Resposta

(-7,-2)

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