Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int 5 x^{3 / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função 5 x^{3/2} em relação a x. Ou seja, encontrar uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=5 x^{3/2}.
Informações dadas: a integranda é 5 x^{3/2} e a variável de integração é x. Como é uma integral indefinida, devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a regra básica para integrar potências de x. A fórmula é:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui n é o expoente (um número qualquer diferente de -1), x é a variável de integração e C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtemos (n+1)\dfrac{x^{n}}{n+1}=x^{n}, recuperando a função original.

Passo 3

Outra propriedade útil é a linearidade da integral: uma constante multiplicativa pode ser colocada fora da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Isso nos ajuda a tratar o fator 5 que está multiplicando x^{3/2}.

Passo 4

Aplicando a linearidade para tirar o 5 para fora:
\int 5 x^{3/2}\,dx = 5\int x^{3/2}\,dx.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da potência com n=\tfrac{3}{2}. Calculamos n+1:
n+1=\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}.
Portanto,
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C.

Passo 6

Voltando ao fator 5:
5\int x^{3/2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2}+C.
Simplificamos a constante:
5\cdot\frac{1}{5/2}=5\cdot\frac{2}{5}=2.
Assim obtemos a primitiva simplificada:
2x^{5/2}+C.

Passo 7

Cheque rápido (para ter segurança): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{5/2}\bigr)=2\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=5x^{3/2},
que é exatamente a integranda original. Está correto.

Passo 8

Forma alternativa (opcional): podemos escrever x^{5/2} como x^{2}\sqrt{x}, pois
x^{5/2}=x^{2+\tfrac{1}{2}}=x^{2}x^{1/2}=x^{2}\sqrt{x}.
Então outra forma da primitiva é 2x^{2}\sqrt{x}+C.

Resposta

2x^{5/2}+C

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