Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int 6 x^{1 / 3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 6\,x^{1/3}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é 6\,x^{1/3}.
  • A variável de integração é x.
  • É uma integral indefinida, portanto a resposta deve conter a constante de integração C.
  • Não há outras restrições informadas (como intervalo de x), então produzimos a antiderivada geral.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \text{para } n\neq -1.
O que cada coisa significa:
  • x é a variável de integração.
  • n é o expoente qualquer (real) da potência.
  • n+1 é o novo expoente que aparece na primitiva.
  • Dividimos por n+1 porque, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, o fator n+1 cancela, voltando para x^n.
    Obs.: se n=-1 a fórmula não vale e a primitiva é \ln|x|+C, mas aqui n=1/3, então usamos a fórmula normalmente.

Passo 3

Primeiro passo algébrico simples: fatorar a constante para fora da integral. A propriedade é
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx
para qualquer constante a. Aplicando com a=6:
\int 6\,x^{1/3}\,dx = 6\int x^{1/3}\,dx.

Passo 4

Identificamos o expoente n dentro da regra da potência:
n = \tfrac{1}{3}.
Agora calculamos n+1:
n+1 = \tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{1}{3} + \tfrac{3}{3} = \tfrac{4}{3}.
Expliquei passo a passo porque somei frações: 1 = \tfrac{3}{3} para ter denominadores iguais.

Passo 5

Aplicando a regra da potência à integral sem a constante:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C.
Lembre que dividir por uma fração é multiplicar pelo seu recíproco:
\frac{x^{4/3}}{4/3} = x^{4/3}\cdot\frac{3}{4}.

Passo 6

Agora multiplicamos pelo 6 que estava fora:
6\int x^{1/3}\,dx = 6\left(x^{4/3}\cdot\frac{3}{4}\right) + C.
Fazendo as contas:
6\cdot\frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2},
pois dividimos numerador e denominador por 2. Portanto a primitiva fica
\frac{9}{2}\,x^{4/3} + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para você poder checar na prova): calcule a derivada de \dfrac{9}{2}x^{4/3}.
Usando a regra da potência para derivadas:
\frac{d}{dx}\left(\frac{9}{2}x^{4/3}\right) = \frac{9}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{4/3-1} = \frac{9\cdot4}{2\cdot3}x^{1/3} = 6\,x^{1/3},
que é exatamente o integrando. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}x^{4/3}+C

Exercícios relacionados