Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - É uma integral indefinida, portanto a resposta deve conter a constante de integração
. - Não há outras restrições informadas (como intervalo de
), então produzimos a antiderivada geral.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz:
O que cada coisa significa:
-
é a variável de integração. -
é o expoente qualquer (real) da potência. -
é o novo expoente que aparece na primitiva. - Dividimos por
porque, ao derivar , o fator cancela, voltando para .
Obs.: sea fórmula não vale e a primitiva é , mas aqui , então usamos a fórmula normalmente.
Passo 3
Primeiro passo algébrico simples: fatorar a constante para fora da integral. A propriedade é
para qualquer constante
. Aplicando com
:
Passo 4
Identificamos o expoente
dentro da regra da potência:
Agora calculamos
:
Expliquei passo a passo porque somei frações:
para ter denominadores iguais.
Passo 5
Aplicando a regra da potência à integral sem a constante:
Lembre que dividir por uma fração é multiplicar pelo seu recíproco:
Passo 6
Agora multiplicamos pelo
que estava fora:
Fazendo as contas:
pois dividimos numerador e denominador por
. Portanto a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para você poder checar na prova): calcule a derivada de
.
Usando a regra da potência para derivadas:
Usando a regra da potência para derivadas:
que é exatamente o integrando. Então está correto.