Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(4 x^{3}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida da função 4x^{3}+x^{2}. Ou seja, devemos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=4x^{3}+x^{2}. As informações dadas são apenas a expressão integranda \;4x^{3}+x^{2}\; e que a integração é em relação a x. Devemos lembrar de acrescentar a constante de integração C no final.

Passo 2

Regras básicas que vamos usar (explicadas com calma):
\text{(a) Linearidade:}\qquad \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Isto significa que podemos separar a soma dentro da integral em duas integrais.
\text{(b) Constante fatorada:}\qquad \int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,
quando a é constante. Podemos tirar constantes para fora da integral.
\text{\text{(c)} Regra da potência:}\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad\text{para }n\neq -1.ê
Aqui n é um número real (o expoente). Essa fórmula vem da observação de que a derivada de \frac{x^{n+1}}{n+1} é x^n: de fato \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^n=x^n.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa integral, escrevemos
\int\big(4x^{3}+x^{2}\big)\,dx=\int 4x^{3}\,dx+\int x^{2}\,dx.
Agora aplicamos a propriedade da constante para a primeira integral:
\int 4x^{3}\,dx=4\int x^{3}\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra da potência à integral \int x^{3}\,dx: aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}=\frac{x^{4}}{4}.
Multiplicando pela constante 4 que estava fora,
4\int x^{3}\,dx=4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4}.
Expliquei passo a passo: primeiro usei a fórmula com n=3, depois cancelei o 4.

Passo 5

Agora a segunda integral \int x^{2}\,dx. Aqui n=2, então pela regra da potência:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Somando as duas partes obtidas e lembrando da constante de integração C, a antiderivada é
F(x)=x^{4}+\frac{x^{3}}{3}+C.
Como verificação rápida (sempre bom fazer isso na prova): derivando F(x) temos
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=4x^{3}+\frac{3x^{2}}{3}=4x^{3}+x^{2},
o que coincide com o integrando original, então está correto.

Resposta

x^{4}+\dfrac{x^{3}}{3}+C

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