Questão 2: Resolva as integrais indefinidas:
\int \frac{x}{\sqrt{5 x^{2}+16}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{5x^{2}+16}}\,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de uma função composta cuja derivada aparece no numerador, o que sugere usar substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x^{2} + 16, \quad du = 10x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{10}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int \frac{x}{\sqrt{5x^{2}+16}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{10} = \frac{1}{10}\int u^{-\tfrac12}\,du.
Agora basta usar a fórmula \int u^{\alpha}du = \tfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}:
\frac{1}{10}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{10}\cdot \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = \frac{1}{5}\,u^{\tfrac12}+C.

Passo 4

Voltando a x, temos
\frac{1}{5}\,u^{\tfrac12}+C = \frac{1}{5}\sqrt{5x^{2}+16}+C.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{5x^{2}+16}}\,dx = \frac{1}{5}\sqrt{5x^{2}+16}+C.

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