Questão 2: Resolva as integrais indefinidas:
\int\left(2 x{3}-\frac{e{x}}{2}+\frac{1}{x}-3 \cos x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \Bigl(2x^{3}-\tfrac{e^{x}}{2}+\tfrac{1}{x}-3\cos x\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de soma de termos usando regras básicas: potência, exponencial, integral de 1/x e integral de \cos x.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em partes mais simples:
\int \Bigl(2x^{3}-\tfrac{e^{x}}{2}+\tfrac{1}{x}-3\cos x\Bigr)\,dx = \int 2x^{3}\,dx \;-\;\int \tfrac{e^{x}}{2}\,dx \;+\;\int \tfrac{1}{x}\,dx \;-\;\int 3\cos x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2x^{3}\,dx, aplicamos a regra da potência \int x^{n}dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int 2x^{3}\,dx =2\cdot \frac{x^{4}}{4} =\frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \tfrac{e^{x}}{2}\,dx, tiramos a constante \tfrac12 e usamos \int e^{x}dx = e^{x}:
\int \tfrac{e^{x}}{2}\,dx =\tfrac12\int e^{x}dx =\tfrac12\,e^{x}.

Passo 5

Para \displaystyle \int \tfrac{1}{x}\,dx, usamos a integral básica
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|.

Passo 6

Para \displaystyle \int 3\cos x\,dx, tiramos a constante 3 e usamos \int \cos x\,dx = \sin x:
\int 3\cos x\,dx =3\int \cos x\,dx =3\sin x.

Passo 7

Agora reunimos todos os resultados, tomando cuidado com os sinais e adicionando a constante de integração C:
\int \Bigl(2x^{3}-\tfrac{e^{x}}{2}+\tfrac{1}{x}-3\cos x\Bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{2} -\frac{e^{x}}{2} +\ln\bigl|x\bigr| -3\sin x + C.

Resposta

\frac{x^{4}}{2} -\frac{e^{x}}{2} +\ln\bigl|x\bigr| -3\sin x + C.

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