Questão 2: Resolva as integrais indefinidas:
\int \sqrt{x} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,\ln x \, dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, e para facilitar vamos reescrever \sqrt{x} como x^{\frac12}.

Passo 2

Reescrevendo a integral em termos de potências, temos
\int x^{\frac12}\,\ln x \, dx.
Para aplicar integração por partes, fazemos
u = \ln x, \quad dv = x^{\frac12}\,dx.

Passo 3

Calculamos
du = \frac{1}{x}\,dx,
e
v = \int x^{\frac12}\,dx = \frac{x^{\frac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\frac32}.

Passo 4

Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
obtemos
\int x^{\frac12}\ln x\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x - \frac{2}{3}\int x^{\frac32}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

No segundo termo simplifica-se a potência:
\int x^{\frac32-1}\,dx = \int x^{\frac12}\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac32}.
Substituindo de volta,
\int x^{\frac12}\ln x\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{\frac32} + C = \frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x - \frac{4}{9}x^{\frac32} + C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x \;-\;\frac{4}{9}x^{\frac32} + C

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