Questão 2: Resolva as integrais indefinidas:
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolve técnica de integração: propriedade linear da integral, substituição e uso da integral padrão
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)+C.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx =\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx +\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx, use a substituição
u=4-x^2, \quad du=-2x\,dx \;\Rightarrow\; x\,dx=-\tfrac12\,du.
Então
\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx =\int \frac{-\tfrac12\,du}{\sqrt{u}} =-\tfrac12\int u^{-\tfrac12}\,du =-\sqrt{u} =-\sqrt{4-x^2}.

Passo 4

Para \displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx aplicamos a fórmula padrão com a=2:
\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} =\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\sqrt{4-x^2}+\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C.

Resposta

-\sqrt{4-x^2}+\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C.

Exercícios relacionados