Questão 2: Resolva as integrais indefinidas:
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)} d x

Passo 1

No enunciado, temos a integral indefinida
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais, que nos permite escrever o integrando como soma de termos simples, cada um integrável por meio de um logaritmo.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)} \;=\; \frac{A}{x-1} \;+\; \frac{B}{x+1} \;+\; \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+2), igualamos os numeradores:
x = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1).

Passo 3

Expandimos os termos do lado direito e coletamos coeficientes de x^2, x e termo constante:
A(x^2+3x+2) + B(x^2+x-2) + C(x^2-1) = (A+B+C)x^2 + (3A+B)x + (2A-2B-C).
Como o numerador à esquerda é x = 0\cdot x^2 + 1\cdot x + 0, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B + C = 0,\\\\ 3A + B = 1,\\\\ 2A - 2B - C = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, C = -A - B. Substituindo na terceira,
2A - 2B -(-A - B)=0 \;\Longrightarrow\; 3A - B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 3A.
Em 3A + B = 1 fica
3A + 3A = 1 \;\Longrightarrow\; 6A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{6},\quad B = \tfrac{1}{2},\quad C = -\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Com esses valores, reescrevemos a integral:
\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}\,dx = \int \Bigl(\frac{1/6}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} - \frac{2/3}{x+2}\Bigr)\,dx.
Cada termo segue a fórmula \int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a|, logo
\int \frac{1/6}{x-1}\,dx = \frac{1}{6}\ln|x-1|,\quad \int \frac{1/2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x+1|,\quad \int -\frac{2/3}{x+2}\,dx = -\frac{2}{3}\ln|x+2|.

Resposta

\int \frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}\,dx = \frac{1}{6}\ln|x-1| \;+\; \frac{1}{2}\ln|x+1| \;-\; \frac{2}{3}\ln|x+2| + C.

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